рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Работа сделанна в 2000 году

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности - Курсовая Работа, раздел Математика, - 2000 год - Комплексные числа в планиметрии Углы И Площади. Критерий Принадлежности Четырех Точек Одной Окружности. Услов...

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности. Условимся обозначать символом положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор, чтобы он стал сонаправлен с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b-а и d-c рис.7 и 24 Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает 25 Если z r, то Отсюда 26 Тогда так как Итак, 27 Аналогично находим . 28 Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС или 29 что можно записать в виде определителя третьего порядка 30 Если треугольник АВС вписан в окружность, то формула 29 преобразуется к виду . 31 Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем 32 Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz l, то 32 принимает вид 33 Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой.

Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше. Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой. Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c, d. Комплексное число 34 называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается AB, CD . Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом. Доказательство.

Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отношения и действительные числа см. условие 10 . Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение 34 . Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая 1 точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ 2 точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ. В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА АDВ , т. е. ВСА-ВСА . В обоих случаях разность равна нулю или. Но поскольку согласно 24 эта разность равна то - действительное число.

Обратно если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны.

Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то Следовательно, либо BCA BDA, либо ВСА-ВDА , т.е. ВСА ADB . В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна, и поэтому он будет вписанным в окружность.

Доказательство закончено. Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ. Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексные числа Тогда по условию 9 параллельности хорд имеем Следует доказать, что рис.8 . Первое равенство эквивалентно такому Или т. е. эта дробь должна быть числом действительным.

А это имеет место, поскольку сопряженное ей число равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов. Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и окружности и пересекаются в точках и, окружности и - в точках и и окружности и - в точках и. Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной окружности или прямой рис.9 . Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения Поэтому будет действительным и число Следовательно, из вещественности двойного отношения вытекает вещественность и двойного отношения. Подобные и равные треугольники.

Правильный треугольник ОПР Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы подобие первого рода, если только и углы ориентированные. Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так Два равенства и эквивалентны одному или 35 где комплексное число, коэффициент подобия.

Если, в частности число действительное, то и на основании признака 8 будет. По такой же причине и. Следовательно, треугольники и гомотетичны. Соотношение 35 - необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и являются подобными и одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид 36 или . 37 ОПР. Треугольники АВС и подобны и противоположно ориентированы подобие второго рода, и. Последнее равенство дает Два равенства и эквивалентны одному или 38 где - комплексное число, -коэффициент подобия.

Соотношение 38 есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме 39 или же так 40 Если, то треугольники АВС и будут равны конгруэнтны. Тогда соотношения 35 и 38 становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации. Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел.

Пусть даны точки с комплексными координатами и требуется построить точку М с координатой z ab. Тогда, очевидно Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab рис.10 . Обратно если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников. Следует обратить внимание на один важный частный случай.

Если а 1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия 36 получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным 41 или 42 Введем в употребление комплексное число являющееся одним из корней уравнения Формула для нахождения корней - Другие два корня которого равны 1 и. По теореме Виета для кубического уравнения имеем Это легко проверить и непосредственно.

Тогда равенство 41 будет эквивалентно такому или после умножения первого трехчлена на . 43 Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств 44 или же 45 Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации.

В самом деле, так как умножению на отвечает поворот на, то при положительной ориентации треугольника рис.11 , откуда и поэтому Аналогично проверяется выполнение равенства 45 для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства 44 и 45 выполняться не могут. Если правильный треугольник АВС вписан в окружность, то при его положительной ориентации и, а при отрицательной ориентации и Поэтому каждое из условий 44 и 45 принимает вид 46 Задача 1. Доказать, что треугольник, стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС. Решение.

Принимаем описанную окружность за единичную Руководствуясь формулами 20 и 19 , получаем Проверяем выполнимость признака 35 причем, т. е. -действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны. 3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и вписаны в одну окружность.

Доказать, что треугольник с вершинами в точках пересечения прямых ВС и, СА и, AB и подобен данным треугольникам. Решение. Придадим окружности уравнение. Вершины. треугольника служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол. Поэтому Если- точки пересечения прямых ВС и СА и АВ и соответственно, то на основании 17 откуда Аналогично Осталось проверить условие 17 что делается непосредственной подстановкой. 3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вершины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.

Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся 1 Формулой 38 необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABC и 2 Формулой 4а для точек M, N, P из условия задачи 3 Формулой 11 коллинеарности точек M, N, P Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1 2 3 .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Комплексные числа в планиметрии

Расстояние от точки до прямой 24 Заключение 30 Список использованной литературы 31 Введение Большое значение комплексных чисел в математике и ее… Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в… В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометрии на плоскости…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек
Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек. ОПР Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А а и B b. Векторы и сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a arg b, т. е.

Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел
Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел. Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число. Из равенств и однозначно выражаются декартовы коор

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги