Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел

Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел. Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число.

Из равенств и однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа и 1 Поэтому комплексные числа z и называются сопряженными комплексными координатами этой точки. Формулы 1 позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.

Геометрический смысл уравнения Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 Сначала выделим особый случай, когда с 0. Тогда имеем систему относительно и второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при, путем вычитания второго уравнения из первого получаем Если, т.е то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения будет единственное число z 0. При уравнение напишем в виде. Модули левой и правой частей равны.

Необходимо, чтобы, откуда. Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом к действительной оси рис.1 . Так, уравнением 3 задается прямая при и точка при. Пусть теперь. Свободный член уравнения 2 можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Тогда имеем систему из которой получаем. Рассмотрим возможные случаи.

Если, то и подстановкой в исходное уравнение получаем или. При его решение единственно При решений нет. Если, то и, т. е В этом случае уравнением 2 при прямая. В самом деле, возьмем точку и вектор точки В b и рассмотрим множество точек М z, для каждой из которых MQ OB 4 Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение 4 эквивалентно уравнению 2 . Таким образом, при и уравнение 2 есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору. Наконец, отметим случай, когда, но. Тогда система приводит к противоречию, т.е Подведем итоги.

Уравнением, в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается 1 прямая при а b, с 0, а также при 2 единственная точка при 3 пустое множество в иных случаях, т. е. при a b а также при Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при, приходим к уравнению, которое а имеет единственное решение при б имеет бесконечное множество решений при и в не имеет решений при и. Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение определяет а единственную точку при б прямую при и в пустое множество при и. Уравнение 5 прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой. Две прямые.

Расстояние от точки до прямой Пусть прямая т задана приведенным уравнением. Так как она перпендикулярна вектору, то вектор будет ей параллелен рис.2 . Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai . 6 Положительно ориентированный угол от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и . 7 Формулы 6 и 7 позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого. Из формулы 7 вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых и. В самом деле, чисто мнимое число.

Это значит, что, или . 8 При или получаем . 9 Если прямая проходит через точку, то и ее уравнение можно написать в виде 10 В силу условия 8 перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и будут соответственно числа а и. Поэтому на основании уравнения 10 получаем уравнение 11 прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой. Решение системы дает координату 12 основания M1 перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Так как расстояние d от точки M0 этой прямой равно, то . 13 Геометрический смысл, уравнения Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S s и радиусу R 14 Пусть дано уравнение , 15 в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий.

Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют.

С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде . 16 Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с. 1. Сравнивая уравнение 16 с уравнением 14 окружности, приходим к выводу, что уравнение 16 , а значит, и уравнение 15 задают окружность тогда и только тогда, когда и ab-с - действительное число.

Так как в этом случае, то с должно быть действительным числом. Итак, уравнение 17 есть уравнение окружности с центром s -b и радиусом . 2. При и с ab уравнению 16 удовлетворяет единственная точка s -b. В частности, этот случай имеет место при а b с 0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром s -b нулевого радиуса. 3. Если но, то - чисто мнимое число.

Полагаем, тогда 16 можно записать так . 18 Уравнению 18 не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR с действительным центром S, имеющим комплексную координату s -b. 4. Когда, но, уравнение 16 противоречиво левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа даже мнимого 5. Осталось рассмотреть случай, когда. Тогда из уравнения 15 вычтем уравнение, получающееся из 15 переходом к сопряженным комплексным числам.

Получаем, откуда Выполняя эту подстановку в уравнение 15 , приводим его к виду . 19 При уравнения 15 и 19 равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант квадратного уравнения 19 , оно будет определять две различные действительные! или две совпавшие точки.

При D 0 совпавшие точки имеют комплексную координату В частности, при c ab как уравнение 16 , так и уравнение 19 дает пару точек z1 -b и. Итак, уравнением 15 задается либо окружность действительная, мни мая, нулевого радиуса, либо две точки различные или же совпавшие, либо пустое множество точек. Рассмотрим одну замечательную пару окружностей. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны.

Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности. Для того чтобы окружности A, R и В, r были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы AB 2 R2 r2 , или . 20 Если окружности заданы уравнениями и то, и поэтому критерий 20 их ортогональности трансформируется так 21 Решение задач Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность рис.3 . Решение. Пусть z - комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную. В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности см. предыдущую статью, имеем откуда. Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем, или Привлекая, полученному уравнению придадим вид. Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение 22 в приведенной форме.

Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности. Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки - ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности.

Доказать, что. Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты. Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты Касательная к окружности в ее произвольной точке Р р имеет уравнение в приведенной форме.

Руководствуясь формулой 13 , находим Аналогично получаем Равенство доказано. Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки и. Доказать, что сумма зависит только от угла между осью проекций и прямой l при заданном треугольнике АВС . Решение.

Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р р, p 1. Ее уравнение имеет вид. Если вершина A имеет координату а, а 1, то вершине В соответствует число ai рис.4 . Прямые АА1 и BB1 получают уравнения и. Для точек, лежащих на оси х проекций Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А1 и В1 . Находим, где - указанный в условии задачи угол. Задача 4. На окружности взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности соответственно с центрами A, В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках рис.5 . Доказать, что точки коллинеарны.

Решение. Пусть окружность является единичной и точка D имеет координату d l. Используя уравнение 14 и тот факт, что окружность имеет центр A а и содержит точку D 1 , получаем ее уравнение, или. Аналогично окружности и будут иметь уравнения и. Решая систему уравнений окружностей и, находим координату второй общей точки М3 этих окружностей m3 a b-ab. Аналогично m2 c a-ca, m1 b c-bc. Отсюда находим. Это число сопряжено самому себе, и потому точки коллинеарны.

Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М т ортогонально данной окружности. Решение. Если окружность обладает заданным свойством, то Исключая получаем уравнение относительно. Им определяется прямая с нормальным вектором, который равен вектору, где - центр данной окружности.

Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM рис.6 .