Замечательные кривые

Министерство высшего и профессиональногообразованияОренбургский государственный университетАэрокосмический институтРеферат по высшей математике Замечательные кривые Выполнил Обухов Е. В. 2000МСИ Проверил Липилина В. В.Оренбург 2000План. 1. Цепочка Галилея2. Цепная линия3. График показательной функции4. Подбор длины цепочки5. А если длина не та6. Все цепные линии подобныЦепочкаГалилея.Вкниге Галилея Беседы и математические доказательства , напечатанной впервыена итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г предлагался, междупрочим, такой способ построения параболы Вобь м в стену два гвоздя наодинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оноравнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построитьполупараболу между одним и другим гвозд м подвесим тонкую цепочку, котораясвешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка е находилась от уровня гвоздя нарасстоянии, равном высоте прямоугольника рис. 1 . Цепочка эта, свисая,расположится в виде параболы, так что, отметив е след на стене пунктиром, мыполучим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, провед нным черезсередину линии, соединяющей оба гвоздя .Способэтот прост и нагляден, но не точен.

Это понимал и сам Галилей.

На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатсязазоры. Они видны на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначенасплошной линией. Цепнаялиния. Только через полвека после выхода книгиГалилея старший из двух братьев-математиков Бернулли Якоб наш л чистотеоретическим пут м точную формулу провисающей цепочки.

Не спеша сообщать сво решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решениеопубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбници младший брат Якоба Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решениязадачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавноразработанного тогда математического анализа производной и интегралом. Гюйгенсназвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепнойлинией.

Таккак цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разныхрасстояниях друг от друга то ближе, то дальше, то и цепных линий существуетне одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны междусобой любые окружности. Графикпоказательной функции. Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции.

В XVIII веке она былаещ новинкой, а теперь е должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y ax, где a какое-либоположительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построенияцепной линии удобнее всего принять a равнымтак называемому неперову числу, обозначаемому буквой e. Оно получилосво имя в честь шотландского математика Джона Непера одного из изобретателейлогарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число p его приближ нноезначение, взятое с точностью до 0,0005 e 2,718.Нарис. 2 сплошной линией изображен

График показательной функции

График показательной функции. Есливоспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю... 3 и рис. 4. Тогда цепочкапровиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Н...

заключение длина дуги CB цепной линии, представленной на рис. 5 половина длины всей цепочки короче, чем ордината точки подвеса.

С другойстороны, имеем l gt d, т.е. этадлина больше, чем абсцисса точки подвеса. Аесли длина не та?Какотыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса A и B длина цепочки 2l не совпадает с длиной 2l дуги AB, принадлежащей кривой y 1 2 ex-e-x ? В поисках ответа мы будемопираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой. Пусть, например, l gt l. Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге AC B, расположенной под дугой ACB рис. 5 . Мы покажем, что нужноеуравнение цепной линии, которой принадлежит дуга AC B,можно найти в три при ма. Сначала перейти от кривой 1 y 1 2 ex-e-x к некоторой кривой 2 y 1 2 ex k-e-x k этакривая получается из 1 посредством преобразования подобия с центром в точке O и коэффициентом подобия k k gt 0 .Затем перейти от кривой 2 к кривой 3 y b k 2 ex k-e-x k посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат в зависимостиот знака b вверхили вниз. Всяхитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k. С этой цельюотметим в плоскости вспомогательной кривой, изображ нной на рис. 4, точку F с координатами x d и y l. В силу того, что l gt l, она непопад т на кривую, а окажется выше не. ПродолжимOF до пересеченияс кривой в некоторой точке G можнодоказать, что точка пересечения найд тся, помимо точки O, и притомтолько одна. ПоложимOF OG в нашем случае0 lt k lt 1 тогда координатами точки G будут числа x d k, y l k. Поэтому они будут связаныуравнением кривой l k 1 2 ed k-e-d k. Отсюда следует, что если на кривой 1 рис. 3 взять точки A и B с абсциссами d k и d k, то длина дуги A B ,их соединяющей, будет равна 2l k. Всецепные линии подобны.

Найденное число k используемкак коэффициент подобия в преобразовании кривой 1 в качестве центра подобиявозьмем начало координат O. Тогда каждой точке P x, y кривой 1 будет соответствовать точка Q kx, ky преобразованнойкривой 2 рис. 6 . Есливвести обозначения X kx, Y ky, то x X k, y Y k. Последниечисла должны удовлетворять уравнению 1 , так как точка P x, y лежит на ней. Получаем Y k 1 2 eX k-e-X k. Это и есть уравнение кривой 2 , полученной в результате преобразования.

Большие буквы дляобозначения координат можно здесь заменить маленькими, помня, что теперь этокоординаты любой точки кривой 2 .Заметим, что точкам A и B кривой 1 с абсциссами d k и d k будутсоответствовать точки A и B кривой 2 с абсциссами d и d рис. 7 . Всилу подобия дуг A B и A B длина A B будет равна 2l, т. е. равна заданной длине цепочки.

Вэтом и состоит преимущество кривой 2 перед исходной кривой 1 . Недостаток е, однако, в том, что кривая 1 проходила через заданные точки подвеса A и B,а кривая 2 может через них и не проходить.

Но этот недостаток легкоустранить.

Если ордината точки B или A k 2 ed k e-d k неравна r, т. е. B не совпадает с B,то положим r-k 2 ed k e-d k b. Врезультате сдвига кривой 2 в направлении оси ординат на величину bона перейд т в кривую 3 y b k 2 ed k e-d k. Последняя кривая, во-первых, подобна кривой 1 и, следовательно, является самацепной линией.

Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса A -d, r и B d, r. И, в-третьих, длина дуги AB равна длине данной цепочки 2l. Эти условия и обеспечивают, как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом иЛейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB. На этом очерк оцепочке Галилея можно считать законченным. Список использованной литературы 1. А.И. Маркушевич Замечательные кривые Москва Наука -1978г.2. Г.Штейнгауз Математический калейдоскоп Москва ГосТехИздат -1949г.3. Г.Н. Берман Циклоида Москва ГосТехИздат -1954г.