рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов

Работа сделанна в 2000 году

Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов - Дипломная Работа, раздел Математика, - 2000 год - Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике Целесообразность Введения Элементов Теории Групп В Программу Факультативных К...

Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов. В настоящее время очень часто приходится обсуждать вопрос нужно ли вообще изучать элементы современной математики в курсе средней школы.

Мы считаем, что не только нужно, но и совершенно необходимо в силу огромной практической и познавательной значимости элементов современной математики. Знакомство школьников с современной математикой целесообразно начать с изучения элементов теории групп, так как структура группы является не только структурой, представляющей большой научный интерес, но и структурой, имеющей простые интерпретации на конечных множествах.

К тому же структура группы часто встречается в школьном курсе математики. Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера математической структуры. Например, существует большое число простых и конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам материале, причем многие из них являются весьма наглядными.

Кроме того, аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно, посредством изучения одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. Многие дедуктивные выводы из аксиом группы просты и изящны. К тому же учащимся, испытывающим определенные затруднения при чисто абстрактном исследовании, часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой.

Весьма небольшое число аксиом оказывается достаточным для рассмотрения разных теорем, сразу приводящих к интересным результатам 16 . При этом имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми любопытными вопросами теории групп, а систематическая и планомерная работа по изучению структуры группы. Исходя из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.

Нами была разработана программа факультативного курса Элементы современной алгебры и проведена апробация этого курса среди учащихся 9-10-х классов абаканской национальной гимназии им. Н.Ф. Катанова. Мы ставили перед собой следующую задачу познакомить школьников с элементами теории групп.

Факультативный курс Элементы современной алгебры можно провести по следующему тематическому плану. 1 Алгебраические действия. Свойства алгебраических действий 4 часа . 2 Понятие полугруппы. Примеры полугрупп 2 часа . 3 Подполугруппы. Идеалы полугрупп 2 часа . 4 Делимость элементов в полугруппе 2 часа . 5 Регулярные элементы полугрупп. Понятие инверсной полугруппы 2 часа . 6 Гомоморфизм и изоморфизм полугрупп 2 часа . 7 Свободная полугруппа слов. Полугруппа преобразований 2 часа . 8 Понятие группы.

Примеры групп. Группы симметрий. Свободная группа 6 часов . 9 Простейшие свойства групп. Группа перестановок симметрическая группа 4 часа . 10 Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп 4 часа . 11 Определяющие соотношения в группах 2 часа . 12 Порождающие множества групп. Циклическая группа 2 часа . 13 Гомоморфизм и изоморфизм 2 часа . 14 Симметрические многочлены 4 часа. В рамках данного факультативного курса мною проведены 2 занятия по теме Понятие подгруппы.

Подгруппы симметрических групп. Занятие 1. Тема Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Цели - познакомить учащихся с понятием подгруппы, рассмотреть критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, разобрать примеры различных подгрупп - продолжить развитие абстрактного мышления учащихся - формировать у учащихся внимание, наблюдательность. Ход занятия. На предыдущих занятиях вы познакомились с понятием группы, а понятие группы тесно связано с таким понятием, как подгруппа.

Подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории групп. Поэтому сегодня на занятии вы познакомитесь с понятием подгруппа. Для начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. Из предыдущих занятий вам известно, что множество целых чисел образует группу по сложению. Выделим во множестве целых чисел два подмножества подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. Теперь попробуем выяснить, являются ли выбранные нами подмножества группами по сложению.

Для этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного элементов, наличие бинарной операции. Сначала рассмотрим подмножество четных целых чисел. Сложение является бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два четных числа, то в результате снова получится четное число. Сложение ассоциативно, нейтральным элементом является нуль, у каждого элемента есть обратный так как число, обратное четному числу, также четно. Значит, подмножество четных целых чисел является группой по сложению.

Теперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. Сложение не является бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получится нечетное число. Например, числа 3 и 5 являются нечетными, а их сумма является четным числом. Следовательно, данное подмножество не является группой. Таким образом, в том случае, когда для подмножества данного множества, являющегося группой, выполняются все аксиомы группы, то говорят, что это подмножество называется подгруппой данной группы.

Запишем определение подмножество группы называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, переделенной в группе. Следовательно, из рассмотренного нами примера следует, что подмножество четных чисел является подгруппой группы целых чисел относительно сложения. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой группы целых чисел относительно сложения.

Но для того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не проверять все аксиомы группы, принято пользоваться следующим критерием подгруппы. Теорема для того, чтобы непустое подмножество Н группы G, было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий 1 множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то есть для любых элементов h1, h2 и 2 множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему элемент, то есть для любого элемента и. Данная теорема справедлива для бесконечных групп.

В случае конечных групп проверка 2 условия является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах. Теорема пусть G группа, Н - конечное пустое подмножество G, замкнутое относительно операции, тогда Н является подгруппой группы G. Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы 1 все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее только из одного нейтрального элемента 2 любая группа содержит себя в качестве подгруппы.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы - несобственными. Давайте выполним следующее задание I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения, то есть R o Требуется проверить, являются ли подгруппами этой группы следующие множества 1 множество положительных действительных чисел 2 множество рациональных чисел, отличных от нуля. Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт вы попробуете решить самостоятельно.

Так как группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения является бесконечной группой, то для отыскания подгрупп этой группы будем пользоваться критерием подгрупп. Нам надо проверить выполнимость двух условий критерия. Первое условие выполняется, так как произведение двух положительных действительных чисел положительно и действительно например Второе условие критерия также выполняется, так как число, обратное положительному, также положительно.

Следовательно, R , является подгруппой группы R o Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп учащиеся приводят различные примеры подгрупп. Далее выполним следующие задания II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу группы целых чисел по сложению. III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и -1 подгруппой группы R o В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы Q II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы Q o Занятие 2. Тема Подгруппы симметрических групп.

Цели - познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с методом нахождения подгрупп симметрических групп - продолжить развитие абстрактного мышления школьников - способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.

Ход занятия. Вы уже знакомы с симметрической группой Sn. Внутреннюю структуру симметрической группы Sn можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее многие свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с методом отыскания подгрупп. Для начала следует отметить то, что симметрическая группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы Sn удается лишь для небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.

Нам известно, что симметрическая группа Sn конечна. Поэтому для того, чтобы подмножество Н группы Sn являлось подгруппой группы Sn, достаточно чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н. Рассмотрим следующий пример пусть Н - множество перестановок. Проверим, является ли Н подгруппой группы S4. Проверим, выполняется ли для данного множества условие теоремы о подгруппах для конечных групп замкнутость множества относительно операции умножения. Оказывается, что данное условие не выполняется, так как. Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S4. Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Теорема Лагранжа если Н - подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G. Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач, связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S3, порядок этой группы равен 3! 6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S3 могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются делителями числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли подгруппами группы S3 подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок. Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не верно. Например, знакомая вам знакопеременная группа А4 имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Теорема Силова пусть G - группа порядка g и h - делитель числа g если h pn, где р - простое число, а n - положительное целое число, то группа G содержит подгруппу порядка h. Рассмотрим, например, знакопеременную группу A4, порядок этой группы равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А4 содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2 21, 3 31, 4 22. Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп. Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп симметрической группы Sn. Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических групп.

Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи опишите все подгруппы симметрической группы S3. Мы знаем, что порядок группы S3 равен 6. Из теоремы Лагранжа следует, что подгруппы из S3 могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме Силова такие подгруппы точно существуют. Опишем сначала подгруппы, которые состоят из 2 перестановок. Если Н - такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент, то есть. Так как элемент обратный к не может совпадать с Е, то. Последнее равенство можно записать так, то есть Е . Следовательно перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения группы S3 Приложение 1 видно, что подгруппами группы S3 будут следующие подмножества 1 2 3 Это следует из того, что Опишем теперь подгруппы, состоящие из 3 перестановки. Если G - такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и два различных элемента и, то есть. Перестановки и должны иметь порядок 3, так как если одна из них, например, имеет порядок 2, то перестановка также будет иметь порядок 2. но легко проверить, что произведением любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка.

Это видно из таблицы умножения группы S3 Приложение 1 . Так как, например Следовательно, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть Из таблицы Кэли видно, что, так как и. Кроме того из таблицы следует, что произведение каждых элементов множества G является элементом из G, то есть выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Значит, множество G группы S3 является подгруппой симметрической группы S3. Таким образом, мы получили, что группа S3 имеет 6 различных подгрупп 1 2 3 4 5 6 Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S3. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы Sn. В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения. I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S4 1 2 . II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа порядка 5. III. Опишите все подгруппы группы S4, состоящие из трех перестановок.

Сколько их? Представленные выше 2 занятия по теме Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп являются частью большого факультативного курса Элементы современной алгебры. Чтобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс Элементы теории групп. Симметрические группы для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса Элементы теории групп. Симметрические группы. 1 Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий 6 часов. Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства действий коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей Кэли. 2 Общие определения группы. Примеры групп 4 часа. Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп. 3 Перестановки и симметрические группы группы перестановок 8 часов. Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножения перестановок ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп. 4 Подгруппа.

Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп 6 часов. Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения подгрупп симметрических групп. 5 Обобщающее занятие 2 часа . 6 Итоговая проверочная работа Приложение 2 , задается учащимся на дом. 2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы студентов по апробированию разработанного факультативного курса в условиях педагогического процесса школы.

На организационном этапе были определены цель, задачи и методы исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.

Экспериментальная работа в школе была определена следующим методологическими характеристиками Тема экспериментальной работы элементы современной алгебры на факультативных занятиях по математике. Объект - элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике. Предмет - элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на факультативных занятиях по математике.

Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и возможность введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов. Гипотеза эксперимента - введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися. Задачи эксперимента 1 Экспериментально проверить возможность введения разработанного факультативного курса в школьное обучение 2 Разработать и апробировать факультативный курс Элементы современной алгебры 3 Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на факультативе учебного материала 4 Сделать выводы на основании экспериментальных данных.

Экспериментальная база - национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова г. Абакан, Республика Хакасия. Этапы эксперимента 1 подготовительный - до октября 1999 года 2 формирующий эксперимент - с октября 1999 года до февраля 2000 года 3 подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов - до апреля 2000 года. Методика эксперимента Изучение математической и методической литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий, письменный опрос школьников, математическая обработка результатов эксперимента. На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа факультативного курса Элементы современной алгебры, а также содержание занятий этого факультатива по теме Понятие подгруппы.

Подгруппы симметрических групп.

Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного нами факультативного курса, определении продолжительности и количества занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем продолжительность одного занятия равнялась академическому часу. Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у учащихся остаточных знаний программы факультатива.

После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была предложена для выполнения итоговая проверочная работа Приложение 3 . Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на 4 уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных операций. Первый уровень репродуктивный предполагал выполнение заданий, требующих воспроизведения знаний без существенных изменений понятия, правила, готовые выводы. Второй уровень уровень стандартных операций предполагал оперирование знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям.

Задания третьего уровня аналитико-синтетического предусматривали наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической обработки учебного материала выделения главного, умения сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать. Для выполнения заданий четвертого уровня творческого было необходимо умение применять знания в значительно измененных условиях.

Задания на четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого характера. В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий, было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие задания 1 Задание первого уровня. Пусть Q группа, Z группа, является ли Z, подгруппой группы Q 2 Задание второго уровня.

Доказать, что подмножество является подгруппой группы S3. 3 Задание третьего уровня. Пусть Н - множество перестановок Проверить, является ли Н подгруппой группы S4. Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно усвоили учебный материал по теме Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп. Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся 85 , хотя наивысший балл получили лишь несколько школьников.

Это связано с тем, что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только правильный ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались работы, в которых учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В основном, большинство школьников без особых затруднений выполняют задания первого уровня. С задание второго уровня справилось 69 учащихся. Самой распространенной ошибкой при выполнении данного задания являлось то, что учащиеся не до конца проверяли условия теоремы о подгруппах для конечных групп.

Они не учитывали то, что нужно проверять принадлежность данному множеству элемента. Некоторые учащиеся вообще не применяли данную теорему, а использовали критерий подгрупп, то есть проверяли принадлежность множеству элемента, что является излишним для конечных групп. Отыскание подгрупп с помощью этого критерия является не рациональным для конечных групп. Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют задания такого уровня.

Снижение показателей по сравнению с первым уровнем обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к применению знаний необходима соответствующая натренированность учащихся в применении знаний, чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не смогли уделить этому внимание из-за отсутствия времени, необходимого для тренировки учащихся в применении полученных знаний. Задание третьего уровня выполнили 54 школьников, так как задания такого типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они представляют значительную трудность для многих школьников.

Как правило, только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные задания. На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех заданий. Таким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный нами факультативный курс Элементы современной алгебры доступен пониманию школьников.

Следовательно, в ходе формирующего эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследования о возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета Математика в формировании… Образовательный и развивающий потенциал математики огромен.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные понятия и определения
Основные понятия и определения. Определение множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обо

Мышление и его развитие
Мышление и его развитие. Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляетс

Развитие абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры
Развитие абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры. Ведущее значение в мышлении старшеклассников занимает абстрактное мышление. Абстрактное мышление тесно

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги