Из истории

Из истории. Термин рациональное число происходит от латиноамериканского слова ratio отношение, которое является переводом греческого слова логосв отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными по-гречески алогос правда, первоначально термины рациональный и иррациональный относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными.

В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis.

Термин соизмеримый commensurabilis ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций. Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами вернее целыми, дробными и положительными. В своих Началах Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа.

Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, алогос невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа.

Стевин писал Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.

Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя Начала Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси. Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли арифметикой астрономов. По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе Ключ арифметики ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней.

Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих приложениях к алгебре 1594 г. показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу.

Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление Геометрии Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков и геометрических величин вообще и необходимости расширения понятия рационального числа.

На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию. В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Равносильные уравнения.

Следствия уравнений. При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными. Определение Уравнение fxgx равносильно уравнению f1xg1x, если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3x-60 2х 13 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х2. Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными. Тот факт, что уравнения fxgx и f1xg1x равносильны, обозначают так fxgx f1xg1x В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение. Теорема 1 Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство Докажем, что уравнение fx gxqx 1 равносильно уравнению fx qx gx 2 Пусть ха корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство fagaqa. Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство fa-qaga показывающее, что а корень уравнения 2. Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения 2 является и корнем уравнения 1. Что и требовалось доказатью.

Теорема 2 Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство докажем, что уравнение 6х 30 равносильно уравнению 2х 10 решим уравнение 6х 30 и уравнение 2х 10 6х3 2х1 х0,5 х0,5 так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны. Что и требовалось доказать. Рассмотрим уравнение ОДЗ этого уравнения х 1, х -3 Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. хх 20, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение хх 20, находим корни х11, х2 2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х-2. В этом случае говорят, что уравнение хх 20, есть следствие уравнения пусть даны два уравнения f1 x g1 x 3 f2 x g2 x 4 Если каждый корень уравнения 3 является корнем уравнения 4, то уравнение 4 называют следствием уравнения 3. Этот факт записывают так В том случае, когда уравнение 3 - есть также следствие уравнения 4, эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

В приведенном выше примере уравнение следствие хх 20, имеет два корня x11 и х2 -2, а исходное уравнение имеет один корень х-2. В этом случае корень х1 называют посторонним для исходного уравнения В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними. Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению следствию, то могли появиться посторонние корни.

В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х1 не входит в ОДЗ уравнения и потому отброшен. Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения.

Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения ОДЗ которого х -2, получим уравнение следствие х-40 имеющее два корня х1 2, х2 -2 корень х2 -2 посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения. В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней. Например, уравнение х1х3 х1 5 Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х1 за скобки, получим х1х20, откуда находим х1-1, х2-2 . Если же обе части уравнения 5 разделить сократить на х1, то получим уравнение х31, имеющее один корень х-2. В результате такого преобразования корень х-1 потерян.

Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля. Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям. 2.2. Определение иррациональных уравнений.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Например 3.