The summary

The summary.

In the given operation some questions, concerning equations in partial derivatives of the second order with two explanatory variables of hyperbolic type are considered. The algorithm of coercion to a canonical form of these equations is shown, definition of characteristics is given.

The method of construction of solution of Gourses problem for the telegraphic equation is stated. Existence and uniqueness of solution of Gourses problem is proved. Some questions concerning of conjugate differential operators, in particular, are considered is obtained the important formula Greens formula on which usage Rimahn s method leans.

Auxiliary function Rimahn s function 6.4 is entered. The number of examples on finding of this function is given. Вступ У свт, який нас оточу, вдбуваться багато рзних процесв фзичн, хмчн, бологчн та нш. Для вивчання цих процесв будують математичн модел. Велика кльксть задач зводиться до рвнянь у частинних похдних. Великий нтерес явля собою знаходження розв якв для систем рвнянь, як пдпорядковуються тим або ншим додатковим умовам.

Ц додатков умови, як правило, являють собою задання невдомих функцй та деяких хнх похдних на меж област, в яко шукаться розв язок, або складаються у тому, що невдомим функцям предписуться той або нший характер властивост. В загальному випадку ц додатков умови називаються граничними умовами. Задач на вдшукання розв язкв системи рвнянь у частинних похдних, пдлеглих вказаним додатковим умовам, в загальному випадку називаються граничними задачами.

Прикладом гранично задач може бути задача Гурса. Граничн задач Гурса використовують для описання процесв сорбц, десорбц, сушки, процесв каталтичних хмчних реакцй та деяких нших процесв. Нмецьким математиком Рманом 17.09.1826 30.07.1866 був пропонований важливий метод нтегрування рвняння 1.1, який базуться на використанн формули Грна 5.2. Цей метод дозволя виразити в явному вигляд шукамий розв язок задач Гурса через граничн умови 2. Робота складаться з вступу, заключення та семи параграфв. Зробимо коротенький огляд кожного параграфу.

В 1 ц роботи наведена постановка задач Гурса. На рисунку 1 показана область D, в якй необхдно знайти розв язок ц задач. 2 присвячен деяким загальним питанням рвнянь у частинних похдних. Показан алгоритм приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння у частинних похдних другого порядку з двома незалежними змнними. Дано означення характеристик. 3 допомжним параграфом.

У ньому наведено формулу перетворення поверхневих нтегралв у об мн 3.2. В 4 методом послдовних наближень доводиться снування та динсть розв язку задач Гурса. 5 торкаться питання спряжених диференцйних операторв. Показано, що вираз vLu uMv, де Mv оператор, спряжений до Lu, можна зобразити як суму частинних похдних вд деякх виразв. Отримана формула Грна 5.2. 6 основним параграфом в данй робот. У ньому викладен метод Рмана. Шляхом введеня допомжно функц функц Рмана 6.4 отримано розв язок задач Гурса у явному вигляд.

В 7 наведено деяк приклади знаходження функц Рмана. 1. Постановка задач. Нехай дано рвняння 1.1 Треба знайти розв язок цього рвняння в област Dрис. 1 якщо задан крайов умови ux0, t t ux, t0 x, 1.2 при цьому функц t та x ддиференцьован, та задовльнюють умов спряження t0 x0. Така задача називаться задачею з даними на характкристиках, або задачею Гурса. D Рис. 2.