Приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння другого порядку з двома незалежними змнними. Характеристики

Приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння другого порядку з двома незалежними змнними. Характеристики.

Розглянемо рвняння другого порядку з двома незалежними змнними , 2.1 де коефцнти А, В та С функц вд x та y, як мають неперервн похдн до другого порядку включно у област R. За допомогою перетворення змнних х, у, х, у, яке припуска обернене перетворення, ми отримумо нове рвняння, екввалентне рвнянню 2.1. При цьому будемо мати 2.2 пдставляючи значення похдних з2.2 в 2.1, будемо мати , 2.3 де, а функця не залежить вд других похдних.

Замтимо, що якщо рвняння 2.1 було лнйно, то й рвняння 2.3 буде лнйним. Рвняння 2.1 пов язано з рвнянням Аdy22ВdydxСdx20 2.4 яке ма назву рвнянням характеристичних змнних, а його нтеграли характеристиками для рвняння 2.5 Нехай x, yconst загальним нтегралом рвняння 2.4, тод покладемо x, y коефцнт буде дорвнювати нулю, якщо x, y const другий, вдмнний вд першого нтеграл, то замною x, y ми доб мось, щоб 0. Як видно з формули 2.5, рвняння 2.4 може мати рзн розв язки, один розв язок або не мати розв язкв взагал в залежност вд знаку В2 АС. Рвняння 2.1 у деякй точц Мx, y будемо називати 1 рвнянням гперболчного типу, якщо В2 АС 0 2 рвнянням параболчного типу, якщо В2 АС0 3 рвнянням параболчного типу, якщо В2 АС0. Вдмтимо, що при довльнй замн змнних 2.2 виконуться рвнсть тобто при будь якому перетворенн змнних, у якого якобан вдмнний вд нуля, тип рвняння 2.1 не змнються.

Розглянемо випадок, коли рвняння 2.1 ма гперболчний тип у деякй област G. У цй област характеристичне рвняння ма два рзних загальних нтеграла x, yconst та x, yconst.

Зробимо замну описану вище x, y та x, y, отримамо 2.6 де Рвняння 2.6 називаться канончною формою рвнянь гпер-болчного типу. Покажемо, що характеристиками рвняння 2.6 будуть прям, паралельн координатним осям, тобто const, const. Для 2.6 рвнянням характеристичних змнних буде dd 0. Звдки будемо мати const, const. 3.