Реферат Курсовая Конспект
Работа сделанна в 2001 году
Формула Остроградського-Гаусса - Реферат, раздел Математика, - 2001 год - Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана Формула Остроградського-Гаусса. Нехай Px, Y, Z, Qx, Y, Z И Rx, Y, Z Три Функц...
|
Формула Остроградського-Гаусса. Нехай Px, y, z, Qx, y, z и Rx, y, z три функци змнних x, y, z, як задан у област D и мають в нй неперервн похдн першого порядку по x, по y та по z. Розглянемо у D деяку замкнену поверхню S, яка складаться з скнченного числа кускв з неперервно змнюючеюся на них дотичною площиною.
Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крм того, вважати, що прям, паралельн координатним осям, зустрчають або у скнченному числ точок, або мають загальним цлий вдрзок. Розглянемо нтеграл , 3.1 де через cosnx, cosny, cosnz обозначен коснуси кутов, як складен внутршньою нормаллю до поверхн S з осями координат, а dS додатнй елемент поверхн. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо лтерою Т. Тод P cosnx Q cosny Rcosnz Tn, де Tn прокця вектора Т на напрям внутршньо нормал.
Класична теорема з нтегрального счислення дозволя перейти вд поверхневого нтегралу 3.1 до об много, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S яка задовольня всм обмеженням, як було наведено вище. Ми будемо мати або у векторних позначеннях 3.2 где dv означа диференцал об му, а. Приведена нами формула справедлива у бльш загальних припущеннях вдносно S. Зокрема, формула 3.2 ма мсце для будь-якй кусочно гладко поверхн S, яка обмежу деяку область D. 4. снування та динсть розв язку задач Гурса. Розглянемо найпростшу задачу з даними на характеристиках 4.1 Додатков умови даються на прямих x 0 та t 0, як, як було доведено вище, характеристиками рвняння 4.1. Будемо вважати, що функц x та t диференцюм та задовольняють умов спряжння 0 0. нтегруючи послдовно по x та по t рвняння 4.1, отримумо або 4.2 Таким чином, для найпростшого рвняння, яке не мстить перших похдних та шукамо функц, розв язок представляться у явному аналтичному вигляд 4.2. З формули 4.2 безпосередньо слду динсть та снування розв язку поставлено задач.
Перейдемо до розв язку лнйного рвняння гперболчного типу 4.3 при додаткових умовах на характеристиках x 0, t 0 ux, 0 x, u0, t t, 4.4 де x та t задовльнюють вимогам диференцюмост та спряження.
Коефцнти a, b та c будемо вважати неперервними функцями x та t. Формула 4.3 показу, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5 Для доведення снування та диност розв язку рвняння 4.5 скористамось методом послдовних наближень.
Виберемо в якост нульового наближення функцю ux, t 0. Тод 4.5 да для послдовних наближень слдуюч вирази 4.6 Зауважимо, що 4.7 Доведемо рвномрну збжнсть послдовностей unx, t Для цього розглянемо рзниц Нехай М верхня межа абсолютних величин коефцнтв ax, t, bx, t, cx, t та H верхня межа абсолютних величин z0 u1x, t та похдних z0 H, при змн x та t всередин деякого квадрату 0 x L, 0 t L. Побудумо мажорантн оцнки для функцй Очевидно, що Припустимо, що мають мсце рекурентн оцнки де К 0 деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись цми оцнками та формулою для n1-го наближення псля деяких спрощнь, як посилюють нервнсть, мамо де K L 2. В правих частинах цих нервностей з точнстю до множникв пропорцйност стоять загальн члени розкладання функц е2KLM. Ц оцнки показують, що послдовност функцй збгаються рвномрно до граничних функцй, котр ми зазначимо Переходячи до границ пд знаком нтегралу у формулах 4.6 та 4.7, будемо мати Звдси випливають рвност, як дозволяють встановити, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5 а також диференцйному рвнянню 4.3, що перевряться безпосереднм диференцюванням рвняння 4.5 по x та по t. Функця задовльню також додатковим умовам.
Доведемо тепер динсть розв язку задач 4.3-4.4. Припустимо снування двох розв язкв u1x, t та u2x, t. Отримумо для х рзниц Ux, t u1x, t u2x, t однордне нтегро-диференцйне рвняння Позначаючи дал через H1 верхню межу абсолютних величин для 0 x L, 0 t L та повторюючи оцнки, як було проведено для функцй znx, t, переконумось у справедливост нервност для будь-якого значення n. Звдси виплива Ux, t 0 або u1x, t u2x, t, що доводить динсть розв язку задач Гурса. 5.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
The summary. In the given operation some questions, concerning equations in partial… The method of construction of solution of Gourses problem for the telegraphic equation is stated. Existence and…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Остроградського-Гаусса
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов