Формула Остроградського-Гаусса. Нехай Px, y, z, Qx, y, z и Rx, y, z три функци змнних x, y, z, як задан у област D и мають в нй неперервн похдн першого порядку по x, по y та по z. Розглянемо у D деяку замкнену поверхню S, яка складаться з скнченного числа кускв з неперервно змнюючеюся на них дотичною площиною.
Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крм того, вважати, що прям, паралельн координатним осям, зустрчають або у скнченному числ точок, або мають загальним цлий вдрзок. Розглянемо нтеграл , 3.1 де через cosnx, cosny, cosnz обозначен коснуси кутов, як складен внутршньою нормаллю до поверхн S з осями координат, а dS додатнй елемент поверхн. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо лтерою Т. Тод P cosnx Q cosny Rcosnz Tn, де Tn прокця вектора Т на напрям внутршньо нормал.
Класична теорема з нтегрального счислення дозволя перейти вд поверхневого нтегралу 3.1 до об много, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S яка задовольня всм обмеженням, як було наведено вище. Ми будемо мати або у векторних позначеннях 3.2 где dv означа диференцал об му, а. Приведена нами формула справедлива у бльш загальних припущеннях вдносно S. Зокрема, формула 3.2 ма мсце для будь-якй кусочно гладко поверхн S, яка обмежу деяку область D. 4. снування та динсть розв язку задач Гурса. Розглянемо найпростшу задачу з даними на характеристиках 4.1 Додатков умови даються на прямих x 0 та t 0, як, як було доведено вище, характеристиками рвняння 4.1. Будемо вважати, що функц x та t диференцюм та задовольняють умов спряжння 0 0. нтегруючи послдовно по x та по t рвняння 4.1, отримумо або 4.2 Таким чином, для найпростшого рвняння, яке не мстить перших похдних та шукамо функц, розв язок представляться у явному аналтичному вигляд 4.2. З формули 4.2 безпосередньо слду динсть та снування розв язку поставлено задач.
Перейдемо до розв язку лнйного рвняння гперболчного типу 4.3 при додаткових умовах на характеристиках x 0, t 0 ux, 0 x, u0, t t, 4.4 де x та t задовльнюють вимогам диференцюмост та спряження.
Коефцнти a, b та c будемо вважати неперервними функцями x та t. Формула 4.3 показу, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5 Для доведення снування та диност розв язку рвняння 4.5 скористамось методом послдовних наближень.
Виберемо в якост нульового наближення функцю ux, t 0. Тод 4.5 да для послдовних наближень слдуюч вирази 4.6 Зауважимо, що 4.7 Доведемо рвномрну збжнсть послдовностей unx, t Для цього розглянемо рзниц Нехай М верхня межа абсолютних величин коефцнтв ax, t, bx, t, cx, t та H верхня межа абсолютних величин z0 u1x, t та похдних z0 H, при змн x та t всередин деякого квадрату 0 x L, 0 t L. Побудумо мажорантн оцнки для функцй Очевидно, що Припустимо, що мають мсце рекурентн оцнки де К 0 деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись цми оцнками та формулою для n1-го наближення псля деяких спрощнь, як посилюють нервнсть, мамо де K L 2. В правих частинах цих нервностей з точнстю до множникв пропорцйност стоять загальн члени розкладання функц е2KLM. Ц оцнки показують, що послдовност функцй збгаються рвномрно до граничних функцй, котр ми зазначимо Переходячи до границ пд знаком нтегралу у формулах 4.6 та 4.7, будемо мати Звдси випливають рвност, як дозволяють встановити, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5 а також диференцйному рвнянню 4.3, що перевряться безпосереднм диференцюванням рвняння 4.5 по x та по t. Функця задовльню також додатковим умовам.
Доведемо тепер динсть розв язку задач 4.3-4.4. Припустимо снування двох розв язкв u1x, t та u2x, t. Отримумо для х рзниц Ux, t u1x, t u2x, t однордне нтегро-диференцйне рвняння Позначаючи дал через H1 верхню межу абсолютних величин для 0 x L, 0 t L та повторюючи оцнки, як було проведено для функцй znx, t, переконумось у справедливост нервност для будь-якого значення n. Звдси виплива Ux, t 0 або u1x, t u2x, t, що доводить динсть розв язку задач Гурса. 5.