Побудова розв язку

Побудова розв язку. Будувати розв язок будемо методом Рмана, який поляга на використовуванн формули Грна та да ршення задач 1.1 через граничн умови 1.2. Нехай нам потрбно знайти значення функц u у деякй точц М област x x0, t t0 з координатами x1, t1. Проведемо через точку М рис. 2 з координатами x1, t1 дв прям, як паралельн координатним осям. Нехай точка Px0, t1 це точка перети-ну прямих x x0 та t t1, а точка Qx1, t0 точка перетину прямих x x1 та t t0. Прям х х0, х х1, t t0, t t1 як було показано ранше, характеристиками рвняння 1.1. Область буде являти собою прямокутник MPRQ. У цй област ми можемо застосувати метод Рмана для знаходження розв язку. Якщо враховувати, що обг област вдбуваться проти годинни-ково стрлки, так що обгама площа завжди залишаться злва, формулу 5.2 можна записати у вигляд 5.2 З рисунку 2 бачимо, що при цьому dx cosntdS, dt - cosnxdS. За умови ux0, t t отримумо 0 t. За умови ux, t0 x, отримумо 0 x. Рис. 2 Якщо застосувати формулу 5.2 до прямокутника MPRQ, враховуючи, що на характеристиках QM та PR змнються лише t, а на характерис-тиках MP та RQ змнються лише x, будемо мати 6.1 Перетворимо кожен з нтегралв, який стоть у правй частин 6.1 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 Нехай тепер vx, t, x1, t1 деяка функця, яка задовльню умовам Mv 0, 6.4 При цьому vx1, t1, x1, t1 1, 6.5 Розв язок vx, t, x1, t1 однордного спряженого рвняння 6.4, який задовльню умовам 6.5, називаться функцю Рмана. Ця функця не залежить вд початкових даних 1.2, та для не точка x, t гра роль аргументу, а точка x1, t1 роль параметру. снування та динсть тако функц v було доказано методом послдовних наближень.

Оскльки на прямй MP t t1, а на прямй QM x x1, то останн члени у формулах 6.2.1 та 6.2.2 обертаються в нуль, ми отримамо. Формулу 6.1 тепер можна записати у вигляд Приводячи подбн, та враховуючи, що vx1, t1, x1, t1 1, ux0,t t, ux, t0 x та x, мамо Звдки знаходимо розв язок нашо задач 6.6 Як ми бачимо, формула 6.6 дозволя у явному вигляд написати розв язок данно задач, оскльки точку Мx1, t1 ми вибрали довльно. 7.