Деяк приклади на знаходження фунц Рмана. Приклад 1. Знайдемо функцю Рмана для рвняння . 7.1 Зробивши замну змнних рвняння 7.1 приводиться до канончного вигляду при цьому будемо мати a 0, b Звернемося тепер до вдшукання фунц Рмана v 1, 1. Згдно загально теор, вона повинна задовольняти спряженому рвнянню 7.2 та умовам на характеристиках, як проходять через точку 1, 1 7.3 неважко вконатися, що функця задовльню як рвнянню 7.2, так умовам 7.3, слд, це шукана функця Рмана. Приклад 2. Знайдемо функцю Рмана для рвняння x 0 7.4 приведемо рвняння 7.4 до канончного вигляду, для чого складемо рвняння характерстик xdt2 dx2 0 це рвняння ма два рзних нтеграла C1 C1, слд, треба ввести нов змнн та за формулами x 0 приднамо до цих рвностей ще одну залежнсть тод рвняння 7.4 перетвориться до канончного вигляду при цьому будемо мати a 0, b 0. Для вдшукання функ Рмана нам потрбно знайти частинний розв язок спряженого рвняння 7.5 який задовольняв би слдуючим умовам на характеристиках, проведених через точку 1, 1 7.6 Будемо шукати розв язок рвняння 7.1 у вигляд v G, де. Тод для G ми отримамо слдуюче рвняння 1-G 1-2G - G 0 Це рвняння частинним випадком гпер геометрчного рвняння Гаусса 1-y - 1 y - y 0 при , 1. Рвняння Гаусса припуска частинний розв язок у вигляд гпергеометрчного ряду який збгаться абсолютно при 1. Звдки ясно, що взявши v G 1 ми задовльним рвнянню 7.5 та усмовам 7.6. Слд, функця функцю Рмана. Приклад 3. Знайдемо функцю Рмана для телеграфного рвняння якщо ввести нову функцю ux, t поклавши 7.7 то рвняння 7.7 бльш просту форму , 7.8 де a, b. За допомогою замни змнних x at, x - at приведемо рвняння 7.8 до канончного вигляду при цьому мамо a b 0. Функця Рмана повинна задовльнювати спряженому рвнянню , 7.9 та на характеристиках 1, 1 дорвню одиниц. Будемо шукати розв язок рвняння 7.9 у вигляд. Пдставивши цей вираз та пзначивши через корнь, знайдемо, що функця v задовльню звичайному диференцйному рвнянню G G G0, Лнйно незалежними розв язками якого функця Бесселя нульового порядку та функця Неймана N0, основною властивстю яко, слд, вона не може бути шуканою функцю.
Тобто, якщо взяти v J0 отримамо розв язок рвняння 7.9, який обертаться на характерис-тиках 1, 1 у одиницю, оскльки тут 0. Таким чином, функця Рмана знайдена, вона ма вигляд.