Кольца и поля примеры и простейшие свойства элементов. Определение кольца и поля. Определение.
Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия а A абелева группа б умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства x yz xz yz xy z xy xz. Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна.
Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения. Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aA называется обратимым, если существует элемент bA такой, что ab ba 1. Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a-1 и называется элементом обратным к a. Важнейшим типом колец являются поля. Определение.
Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим. 20. Примеры колец числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов. Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов. 1. Числовые кольца кольца, элементы которых являются комплексными числами а классические числовые кольца кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C. б кольцо Zi целых гауссовых чисел вида a bi, где a, b - целые числа г кольцо Z действительных чисел вида a с целыми a, b. 2. Кольца многочленов Rx, Qx, Zx, Cx от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами. 3. Кольца последовательностей и функций.
Среди этих колец выделим особо а кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей б кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел в кольцо фундаментальных последовательностей г кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке 0 , 1. 4. Кольца матриц.
Среди разнообразных матричных колец выделим следующие а полное матричное кольцо MnA над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо б кольцо DnA диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы в кольцо TNnA нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.
Кольца Mn и TNn являются некоммутативными, в кольце TNn нет единицы. 30. Примеры полей. 1. Числовые поля. Q, R, C, Qi, Q . 2. Поля дробно-рациональных функций Qx, Rx, Cx. Так, элементами множества Rx являются всевозможные функции вида, где fx, gx - многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен gx ненулевой.
Операции сложения и умножения дробей обычные. 3. Поле вычетов Zp по простому модулю p. Например, для p7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z7 24 35 66 1. 40. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах. Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства а 0x x0 0 б правило знаков x- y -xy -xy в дистрибутивность умножения относительно разности x - yz xz - yz, xy - z xy - xz где разность определяется обычным образом x - y x - y. Доказательство. а Имеем 0x 0 0x 0x 0x, откуда 0x 0. Аналогично проверяется и второе равенство x0 0. б Имеем 0 x0 xy -y xy x-y, откуда x-y -xy. в Имеем x - yz x - yz xz -yz xz - yz. Обозначение. ab-1, если a, b - элементы поля, причем b 0. Теорема.
В поле справедливы обычные правила работы с дробями а основное свойство дроби c0 б правила сложения дробей, в правило умножения дробей г, если ab 0 в частности, справедливо известное правило деления дробей.
Доказательство. а Действительно, acbc-1 acc-1b ab-1 . б Имеем a cb-1 ab-1 cb-1 . И далее на основании уже доказанных свойств получаем. Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. 3. Арифметические функции n, n, n. 10. Полная мультипликативность. Определение. Числовой арифметической функцией называется функция, определенная на множестве Z целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.
Числовая функция называется вполне мультипликативной, если выполнены условия 1 x x0, 2 для любых взаимно простых чисел x и y xy x y. Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство 11. В самом деле, 10, так как иначе данная функция была бы нулевой 1 11 1 1, следовательно, 11. Легко проверить, что каждая из следующих функций x1, x x, x x-1, вполне мультипликативна. Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.
Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией. Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда, обозначив через h произведение функций f и g, имеем hxyfxygxyfxfygxgyfxgxfygy hxhy. Следствие. Для любого целого k функция x xk вполне мультипликативна. 20. Сумма значений функции по всем делителям аргумента. Введем в рассмотрение, наряду с функцией x, функцию, равную сумме всех значений функции d при условии, что переменная d пробегает все делители числа x. Теорема основное тождество. Если x, то. В частности, если функция вполне мультипликативна, то и функция также вполне мультипликативна.
Доказательство. Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства. Осталось заметить, что для каждого набора 1, 2 k целых неотрицательных чисел i, не превосходящих ai, в сумме каждое слагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делитель числа имеет вид, получаем. Свойство полной мультипликативности рассматриваемой функции немедленно вытекает из того, что взаимно простые числа содержат различные простые сомножители. 30. Число делителей x и сумма делителей x. Рассмотрим следующие вполне мультипликативные функции x, где x1 число делителей числа x, x , где x x сумма делителей числа x. Теорема.
Справедливы тождества a1 1 a2 1 ak 1 Доказательство. а Из определения функции x немедленно следует указанное тождество, поскольку в силу основного тождества легко подсчитать число слагаемых, каждое из которых равно 1, в каждой из скобок соответствующего произведения. б Это тождество получается из основного тождества и формулы суммы членов геометрической прогрессии . 40. Функция Эйлера.
Одной из важнейших числовых функций является следующая функция, впервые введенная в рассмотрение Эйлером. Определение. Через x обозначается количество чисел ряда 1, 2, x, взаимно простых с числом x. Справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема. Если x, то x x. Следствие. Функция Эйлера вполне мультипликативна и. Теорема тождество Гаусса Доказательство. Применяя основное тождество и последнее следствие, получаем, считая 4.