Базис и размерность векторного пространства. Линейные комбинации и линейные оболочки векторов.
Выражение вида 1e1 nen, где i - числа, ei - векторы из пространства V, называется линейной комбинацией векторов ei числа i называются коэффициентами линейной комбинации. Определение. Линейной оболочкой системы векторов E e1 en называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы обозначение LE. Таким образом, LE . Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным подпространством.
Говорят, что вектор линейно выражается через систему E, если LE. Отметим простейшие свойства линейных оболочек а Если W - подпространство в V, E W, то LE W б Линейная оболочка LE совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E в LE G LE LG, где сумма подпространств U и W определяется равенством U W u w u U, w W . 20. Линейно независимые системы. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0. Определение.
Система векторов называется линейно независимой, если всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля. Заметим, что для доказательства линейной независимости системы достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов. Кроме того, система векторов является линейно зависимой, если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0. Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства.
Лемма 1. Если система E линейно независима, а система Es полученная присоединением вектора s к системе E линейно зависима, то s линейно выражается через E. Лемма 2 основная лемма о линейной зависимости. Большая система линейно зависима, если она линейно выражается через маленькую. 30. Базис линейного пространства. Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V обозначение BV, если выполнены условия а E линейно независима б V LE, т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E. Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные определения. Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется базисом линейного пространства V. Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E. Заметим, что указанные определения равносильны. 40. Размерность линейного пространства.
Определение.
Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом. Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность. Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности. Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов. Доказательство.
Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была большой, а другая маленькой, то большая система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. Следствие. а Размерность линейной оболочки LE равна рангу системы E ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов dim LE rE. б Всякая система векторов n-мерного линейного пространства, содержащая более n элементов линейно зависима. 50. Примеры. 1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных векторов ei 0 0, 1, 0 0 единица находится на месте с номером i, следовательно, dim kn n. Можно доказать, что система из n векторов-строк образует базис пространства kn определитель этой системы отличен от нуля. 2. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений. 3. Пространство матриц имеет стандартный базис из матричных единиц Eij единица находится на месте с номером i, j, следовательно, dim nm. 4. Пространства многочленов Qnx с рациональными коэффициентами степени не превосходящей n имеет следующие базисы а стандартный базис вида 1, x, x2 xn б базис Тейлора в точке c 1, x - c, x - c2 x - cn, где c - некоторое число в базис Лагранжа в точке c1 cn1 gix x - c1 x - ci x - cn1 ci - c1 ci - ci ci - cn1, где c1 cn1 - попарно различные скаляры, а знак означает отсутствие указанного множителя.
Координаты многочлена fx относительно стандартного базиса - это его коэффициенты относительно базиса Тейлора - это строка относительно базиса Лагранжа - это строка fc1 fcn1. 5. Вещественное линейное пространство C имеет стандартный базис 1, i. 7.