Приведение задачи линейного программирования к стандартной форме. Любая задача линейного программирования приводится к стандартной канонической форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом найти неотрицательные значения переменных X1 , X2 , Xn, удовлетворяющих ограничениям в виде равенств A11X1 A12X2 A1nXn B1 A21X1 A22X2 A2nXn B2 Am1X1 Am2X2 AmnXn Bm Xj 0, j1 n и обращающих в максимум линейную функцию этих переменных E C1X1 C2X2 CnXn max При этом также требуется, чтобы правые части равенств были неотрицательны, т.е. должны соблюдаться условия Bj 0, j1 n Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы.
Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия - перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации - изменить знаки правых частей ограничений - перейти от ограничений-неравенств к равенствам - избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак. Для решения нашей задачи воспользуемся симплекс-методом, так как этот метод предназначен для решения задач линейного программирования любой размерности. 3.2. ОСНОВНАЯ ИДЕЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Экстремум целевой функции всегда достигается в угловых точках области допустимых решений.
Симплекс-метод, называемый также методом последовательного улучшения плана, реализует перебор угловых точек области допустимых решений в направлении улучшения значения целевой функции. Основная идея этого метода следующая.
Прежде всего, находится какое-либо допустимое начальное опорное решение, т.е. какая-либо угловая точка области допустимых решений.
Процедура метода позволяет ответить на вопрос, является ли это решение оптимальным.
Если да, то задача решена.
Если нет, то выполняется переход к смежной угловой точке области допустимых решений, где значение целевой функции улучшается, т.е. к нехудшему допустимому решению. Если некоторая угловая точка имеет несколько смежных, то вычислительная процедура метода обеспечивает переход к той из них, для которой улучшение целевой функции будет наибольшим.
Процесс перебора угловых точек области допустимых решений повторяется, пока не будет найдена точка, которой соответствует экстремум целевой функции Е. При построении начального базиса в заданной задаче использовался метод искусственного базиса, поэтому найденное решение не является допустимым. В этом случае для решения задачи необходимо использовать двухэтапный симплекс-метод. 3.3. ДВУХЭТАПНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД Задача с помощью этого метода решается в два этапа сначала отыскивается начальное допустимое решение, не содержащее искусственных переменных, а затем на основе найденного решения ищется оптимальное решение исходной задачи.
Основные шаги, реализации метода следующие. 1. Задача линейного программирования сводится к стандартной форме. 2. Строится искусственный базис. 3. Составляется искусственная целевая функция сумма всех искусственных переменных. 4. Реализуется первый этап двухэтапного метода с помощью обычных процедур симплекс-метода выполняется минимизация искусственной целевой функции.
Если ее минимальное значение равно 0, то соответствующее решение является допустимым решением исходной задачи. Очевидно, что при нулевом значении искусственной целевой функции все искусственные переменные также нулевые так как искусственная целевая функция - их сумма, и все они неотрицательны. Если минимальное значение искусственной целевой функции оказывается отличным от нуля, это означает, что задача не имеет допустимых решений. 5. Реализуется второй этап двухэтапного метода найденное на шаге 4 допустимое решение используется в качестве начального решения исходной задачи для поиска ее оптимального решения. 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКС- ТАБЛИЦ 4.1.