Пример сингулярного разложения. Проведем преобразование Хаусхолдера на матрице , К первой компоненте первого столбца прибавляем норму первого столбца, получим. Пусть Преобразованная матрица A2 вычисляется следующим образом.
Для первого столбца имеем так как Таким образом, в первый столбец были введены нули и его длина не изменилась. Получим второй столбец для третьего столбца окончательно, Столбцы матрицы A2 получаются вычитанием кратных вектора v1 из столбцов A1. Эти кратные порождаются скалярными произведениями, а не отдельными элементами, как в гауссовом исключении.
Прежде чем вводить дальнейшие нули под диагональю, преобразованием вида A3A2Q1, получают нули в первой строке. Нули уже стоящие в первом столбце, не должны быть испорчены, длина первого столбца должна быть сохранена поэтому при внесении нулей в первую строку нельзя менять первый элемент строки, изменяем второй элемент и зануляем третий. Для матрицы большего размера на этом шаге было бы получено n 2 нуля. Преобразование порождается первой строкой A2 Строка матрицы A3 с номером i получается по формуле. Таким образом, из каждой строки A2 вычитается надлежащее кратное. Это дает матрицу Поскольку первая компонента нулевая, то нули первого столбца A2 сохраняются в A3, Так как Q1 ортогональная, то длина каждой строки в A3 равна длине соответствующей строки в A2. Теперь можно добиться новых нулей под диагональю, не испортив полученных ранее Поскольку ранг этой матрицы равен лишь 2, то теперь третий столбец имеет на диагонали и под диагональю элементы порядка ошибки округления.
Эти элементы обозначены в матрице через 0.000, чтобы отличить их от элементов, в точности равных нулю. Если бы матрица имела полный ранг, то нужно было бы выполнить еще одно преобразование, чтобы получить нули в третьем столбце Если бы не ошибки округлений, то в данном примере третий диагональный элемент был бы точным нулем.
Элементы под диагональю во всех столбцах указаны как точные нули, потому что преобразования так и строились, чтобы получить там нули. Последнее преобразование H3 в этом примере могло бы быть тождественным, однако тогда оно не было бы хаусхолдеровым отражением. Фактически использование H3 попутно изменяет знак элемента 1.080 в матрице A4. Получилась искомая двухдиагональная матрица, и первый этап закончен.
Прямое использование ортогональных преобразований не позволяет получить какие либо новые нули. Для общего порядка n нужно n преобразований H и n 2 преобразований Q, чтобы достигнуть данного места.
Число преобразований не зависит от строчной размерности m, но от m зависит работа, затрачиваемая на выполнение каждого преобразования. глава 3.