Начальный этап развития математики. На ранних стадиях развития математики оба направления прикладное и теоретическое - прослеживаются особенно отчетливо.
Так как эти направления вначале взаимодействовали относительно слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных ветвях математики о прикладной и о теоретической чистой математике. Так, математика в Древнем Египте была откровенно прикладной она была непосредственно связана с задачами землемерия, вычисления объемов сосудов, практического счета, исчисления времени в частности, в связи с предсказанием затмений и т. д. Аналогичный характер имела математика в Древней Мексике и у некоторых других народов.
Чистая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой и отчетливо отделялась от прикладной. Именно древнегреческая наука выработала дедуктивный способ построения теории, согласно которому все утверждения в той или иной области выводятся с помощью методов формальной логики из некоторых, не доказываемых утверждений аксиом. С тех пор этот способ изложения считается одной из характерных важнейших черт математики если не важнейшей чертой.
Стройность дедуктивного способа произвела столь большое впечатление на последующие поколения, что были сделаны попытки впрочем, безуспешные придать и другим областям знания строго дедуктивную форму. Известна такая попытка даже в философии. Отмечу замечательную тщательность, с которой древнегреческая наука подходила к понятию бесконечности эта тщательность позже была утеряна и вновь возродилась, причем на более высоком уровне, только в XX веке в работах по математической логике.
Древнегреческая наука не признавала актуальной бесконечности, и ни в одной математической формулировке того времени нельзя найти того, что сейчас бы было названо бесконечным множеством или бесконечным процессом. Характерный пример предложение, которое сейчас формулируется Множество простых чисел бесконечно, Евклидом формулировалось примерно так Если дано какое-либо подразумевается конечное множество простых чисел, то существует еще, по крайней мере, одно простое число.
Здесь можно усмотреть прямую аналогию с понятием неограниченной продолжимости, которое в одном из современных направлений математической логики призвано заменить понятие актуальной бесконечности. Как известно, отказ от актуальной бесконечности повлк за собой определенные логические трудности, в которых греки, в общем, разобрались, отметив, в частности, что пространство и время безгранично делимы в возможности, но не безгранично разделены в действительности.
Высшими проявлениями строгости в древнегреческой математике были теория пропорций и метод исчерпывания Евдокса, аналогичные современным теории вещественного числа и методу перехода к пределу, но отличающиеся тем, что в греческих вариантах не фигурировали бесконечные множества и бесконечные процессы. Впрочем, наряду с этими шедеврами строгости в логике древнегреческой математики имеются и существенные пробелы, которые с современной точки зрения представляются довольно заметными.
Так, первоначальные определения понятий точки, линии и т. д. по существу определениями не являются Точка есть то, что не имеет частей и т. п. и в дальнейшем не упоминаются. Аксиомы охватывают только соотношения между величинами, да и то далеко не все те, которые используются. Совершенно отсутствуют определения и аксиомы, связанные с понятием следования порядка точек на прямой или окружности, то есть это понятие как бы относилось к числу тех слов наподобие пусть дано и т. п понимание которых подразумевается при построении теории.
Кроме того, интересно отметить, что греки вычисляли длины, площади, объемы различных, иногда довольно сложных линий, фигур, тел, но вопрос о самом существовании такой меры даже не возникал и т. д. Между прочим, уже тогда греки в частности, Архимед пользовались и доказательствами, основанными на механических аналогиях однако такие доказательства считались нестрогими, пропедевтическими, полученные утверждения надо было обязательно обосновать последующим строгим доказательством.
По-видимому, отчетливое отделение чистой математики от прикладной характерно также для стран средневекового Ислама и для алгебраистов средневековой Европы. При этом теория и практика решения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в большей степени врастают в чистую математику в частности, крупнейшие математические открытия той эпохи - биноминальные коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней полностью принадлежат чистой математике. 1.2.