Период доминирования теоретико-множественного направления.
Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия, и потому его начало лишь условно можно датировать серединой ХХ века. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств Г. Кантор и теории функций К. Вейерштрасса, по построению первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом геометрии. Это широко известные и глубоко прогрессивные для своего времени работы превратили значительную часть математики в единую науку, с едиными требованиями к определениям, утверждениями и доказательствам, с едиными нормами строгости.
Что касается прикладного направления, то оно продолжало развиваться, прежде всего, в связи с развитием физики и небесной механики, однако, какого-либо переворота здесь не было. Открывались новые каналы, через которые шли приложения, например векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ, позже операционное исчисление, теория обобщенных функций и т. п но сам характер приложений некоторое время оставался в принципе тем же. Классический математический аппарат в сочетании с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, на кончике пера. Широко известны примеры такого рода предсказание электромагнитных волн К. Максвеллом, открытие планет Нептуна и Плутона, предсказание П. Дираком позитрона и т. д. На указанной основе возникла одна из важнейших областей современной науки теоретическая физика.
Успехи теоретического направления, создание единого уровня строгости всей математики привели к тенденции решать и математические задачи, возникшие в приложениях, также на уровне строгости теоретического направления.
Наиболее отчетливо эту тенденцию выразили Д. Гильберт и А, М. Ляпунов. В некоторых случаях эту тенденцию оказалось возможным реализовать, что, впрочем, привело к двойственности при решении прикладной задачи в целом постановка задачи и интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости попытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико-множественной основе оказались безуспешными, так что физический уровень строгости здесь неизбежен, математическое же решение осуществлялось на математическом уровне строгости.
В более сложных случаях, а также, если прикладную математическую задачу решали физики, к решению часто привлекались и физические соображения однако математики рассматривали такое решение как неполноценное и стремились заменить его решением, находящимся полностью на достигнутом вейерштрассовском уровне строгости.
Так сложилось еще одно профессиональное раздвоение между требованиями в уровне строгости решения прикладной математической задачи у математиков и прикладников. Свой вклад в подобную раздвоенность могли бы внести и вычисления, которые, как известно, почти никогда не проводятся полностью на вейерштрассовском уровне строгости. Однако, отойдя от традиций Эйлера и других корифеев золотого периода, математики теоретико-множественного направления перестали вычислять.
Эта деятельность была предоставлена астрономам, артиллеристам и т. п а также небольшой группе специалистов-вычислителей, которые считались находящимися где-то между математиками и инженерами. Достижения в этой области подавляющим большинством математиков не принимались всерьез во всяком случае они считались совершенно несравнимыми с поражающими воображение достижениями в новых направлениях.
Отмечу, что позже, когда вычислительная математика вошла в моду, произошло дальнейшее расслоение по остроумному выражению Р. С.Гутера, работающие в области вычислительной математики делятся на тех, кто доказывает сходимость вычислительных процессов и существование решений, и тех, кто применяет вычислительные процессы и получает решения. Именно эти последние приносят непосредственную пользу прикладным наукам. 1.4.