рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Уравнение свободных колебаний струны

Работа сделанна в 2000 году

Уравнение свободных колебаний струны - Дипломная Работа, раздел Математика, - 2000 год - Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов Уравнение Свободных Колебаний Струны. Метод Разделения Переменных Или Метод Ф...

Уравнение свободных колебаний струны. Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

Итак, будем искать решение уравнения удовлетворяющее однородным граничным условиям 9 и начальным условиям 10 Уравнение 1 линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу найти решение уравнения не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям 11 и представимое в виде произведения 12 где X x функция только переменного x, T t функция только переменного t. Подставляя предполагаемую форму решения 12 в уравнение 1, получим или, после деления на XT, 13 Чтобы функция 12 была решением уравнения 1, равенство 13 должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 х, t 0. Правая часть равенства 13 является функцией только переменного t, а левая только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t или наоборот, получим, что правая и левая части равенства 13 при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение 14 где постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения 14 получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X x и T t 15 16 Граничные условия 11 дают Отсюда следует, что функция X x должна удовлетворять дополнительным условиям X0 X 0, 17 Так как иначе мы имели бы в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.

Для функции T t в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет. Таким образом, в связи с нахождением функции X x мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях найти те значения параметра, при которых существуют нетривиальные решения задачи 18 а также найти эти решения.

Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения собственными функциями задачи 18. Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен. 1. При 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения 15 имеет вид Граничные условия дают Х 0 С1 С2 0 т. е. Но в рассматриваемом случае действительно и положительно, так что. Поэтому С1 0, С2 0 и, следовательно, Х х . 2. При 0 также не существует нетривиальных решений.

Действительно, в этом случае общее решение уравнения 15 имеет вид Х х С1х С2. Граничные условия дают т. е. С1 0 и С2 0 и, следовательно, Х х . 3. При 0 общее решение уравнения может быть записано в виде Граничные условия дают Если Хх не равно тождественно нулю, то, поэтому 19 или где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи 18 возможны лишь при значениях Этим собственным значениям соответствуют собственные функции где Dn произвольная постоянная.

Итак, только при значениях, равных 20 существуют нетривиальные решения задачи 11 21 определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения 9 22 где An и Bn произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче 1, 9, 10, заключаем, что функции 23 являются частными решениями уравнения 1, удовлетворяющими граничным условиям 11 и представимыми в виде произведения 12 двух функций, одна из которых зависит только от х, другая от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям 10 нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций x и x. Обратимся к решению задачи 1, 9, 10 в общем случае.

В силу линейности и однородности уравнения 1 сумма частных решений 24 также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям 9. Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция 24 удовлетворяла условиям 10 25 Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция fx, заданная в промежутке, разлагается в ряд Фурье 26 где 27 Если функции x и x удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то 28 29 Сравнение этих рядов с формулами 25 показывает, что для выполнения начальных условий надо положить 30 чем полностью определяется функция 24, дающая решение исследуемой задачи. Итак, мы доказали, что ряд 24, где коэффициенты An и Bn определены по формуле 30, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u x, t, которая является решением уравнения 1 и удовлетворяет граничным и начальным условиям 9 и 10. Замечание.

Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд 24 представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне. Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х 0, а другой с точкой х. Рис. 2.1. Пусть u x, t температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой 1 где S площадь сечения рассматриваемого стержня, k коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 х2 х1 х. Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно 2 то же самое с абсциссой х2 3 Приток Q1 - Q2 в элемент стержня за время t будет равняться 4 Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u или 5 где с теплоемкость вещества стержня, плотность вещества стержня xS масса элемента стержня.

Приравнивая выражения 4 и 5 одного и того же количества тепла, получим Это и есть уравнение распространения тепла уравнение теплопроводности в однородном стержне. Чтобы решение уравнения 6 было вполне определено, функция u x, t должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи.

Краевые условия для решения уравнения 6 могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для, следующие u x, 0 цx, 7 u 0, t ш1t, 8 u, t ш2t. 9 Физическое условие 7 начальное условие соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная цx. Условия 8 и 9 граничные условия соответствуют тому, что на концах стержня при х 0 и при х поддерживается температура, равная ш1t и ш2t соответственно.

Доказывается, что уравнение 6 имеет единственное решение в области, удовлетворяющее условиям 7 9. 2.1.2.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V два решения, то… Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение свободных колебаний струны

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уравнения гиперболического типа
Уравнения гиперболического типа. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических

Уравнение электрических колебаний в проводах
Уравнение электрических колебаний в проводах. Как указывалось выше, к уравнению 1 приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i x

Распространение тепла в пространстве
Распространение тепла в пространстве. Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u x, y, z, t температура в точке с координатами x, y, z с момент времени t. Опытным п

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных
Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Дифракция излучения на сферической частице. Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги