рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Содержание и значение математической символики

Работа сделанна в 2002 году

Содержание и значение математической символики - Курсовая Работа, раздел Математика, - 2002 год - Российский Государственный Педагогический Университет Им. А.и. Герцена Курсов...

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена Курсовая работа по теме Содержание и значение математической символики Выполнила студентка факультета математики4 курс 4 группа Клочанова Ольга Михайловна Лопачев В.А. Проверил Санкт-Петербург 2002 Содержание. Введение 1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления 3 2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры . 2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета . 1.1 Алгебра греков 1.2 Алгебра Диофанта . 1.3 Алгебра индусов . .1.4 Алгебра арабов .1.5 Развитие алгебры в Европе 2.2 Символика Виета и развитие алгебры . 2.3 Символика Декарта и развитие алгебры . 3. Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа 4. Язык кванторов и основания математической логики 4.1 Алгебра высказываний . 1.1 Определения основных логических связок .1.2 Высказывания и булевы функции 1.3 Задания для учащихся .4.2 Предикаты и кванторы . .2.1 Предикаты . .32 4.2.2 Кванторы .2.3 Задания для учащихся . .5 Методические рекомендации к теме Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления . .39 Список литературы . 43 Введение. История науки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории, начиная с определенного этапа ее развития, становятся все в большую зависимость от использования математической символики и ее усовершенствования.

Когда индийцы в V веке н. э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей.

Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому, что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления.

Введенные Лейбницем обозначения производной и интеграла помогли развить дифференциальное и интегральное исчисление задачи на вычисление площадей, объемов, работы силы и т. п решение которых раньше было доступно только первоклассным математикам, стали решаться почти автоматически.

Благодаря этому обозначения Лейбница получили широкое распространение и проникли во все разделы науки, где используется математический анализ.

Пример с обозначением производной и интеграла особенно ярко подтверждает правильность замечания Л. Карно, что в математике символы не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления нет, они воздействуют на самую мысль, они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их на бумаге, согласно известным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочно достигнуть новых истин. В чем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняется значение символики в математике? Математические знаки служат в первую очередь для точной однозначно определенной записи математических понятий и предложений.

Их совокупность - в реальных условиях их применения математиками - составляет то, что называется математическим языком. Использование знаков позволяет формулировать законы алгебры, а также и других математических теорий в общем виде. Примером могут послужить формулы той же алгебры a b 2 a2 2ab b2 х1,2 и т.п. Математические знаки позволяют записывать в компактной и легкообозримой форме предложения, выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким.

Это способствует более глубокому осознанию их содержания, облегчает его запоминание. Математические знаки используются в математике эффективно и без ошибок, когда они выражают точно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения математических теорий. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает.

В противном случае его могут не понять. В связи со сказанным необходимо подчеркнуть следующее. Математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введенный ими для развития какой-либо математической теории, средствами которой можно решать практически важные задачи. Сотни лет математики оперировали отрицательными и комплексными числами и получали с их помощью первоклассные результаты.

Однако объективный смысл этих чисел и действий с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в начале XIX века. Лейбниц ввел символы dx и dy, развил дифференциальное исчисление и с помощью правил последнего показал исключительную оперативную силу этих символов. Однако Лейбниц не выявил объективного смысла знаков dx и dy это сделали математики XIX века. Знаки и системы знаков играют в математике роль, весьма сходную с той, какая в более широких сферах познания и практической деятельности людей принадлежит обычному разговорному языку.

Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, налаживать контакт ученых в совместной научной работе. Решающим, однако, является то, что язык математических знаков без обычного языка существовать не может. Обычный естественный язык содержательнее языка математических знаков он необходим для построения и развития языка математических знаков.

Язык математических знаков только вспомогательное средство, присоединяемое к обычному языку и используемое в математике и в областях, где применяются ее методы. Возможность использования языка знаков в математике обусловлена особенностями предмета ее исследований - тем, что она изучает формы и отношения объектов реального мира, в известных границах безразличные к их материальному содержанию. Существенна при этом и специфика математических доказательств. Математическое доказательство состоит в построении цепи высказываний, начальным звеном которой являются истинные исходные предложения, конечным - доказываемое утверждение.

Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального и соединяются с ним и конечным звеном с помощью законов логики и правил логического вывода. Если исходные утверждения записаны в символической форме, то доказательство сводится к их механическим видоизменениям. Целесообразность, а в наше время и необходимость - использования языка знаков в математике обусловлена тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать понятия и предложения математических теорий, но и развивать в них исчисления и алгоритмы - самое главное для разработки методов математики и ее приложений.

Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно, то только в принципе, но не в практике. Достаточная оперативность символики математической теории существенно зависит от полноты символики. Это требование состоит в том, что символика должна содержать обозначения всех объектов, их отношений и связей, необходимые для разработки алгоритмов теории, позволяющих решать любые задачи из классов однотипных задач, рассматриваемых в этой теории.

Оперирование математическими знаками есть идеализированный эксперимент он в чистом виде описывает то, что имеет место или может быть приближенно или точно реализовано в действительности. Только поэтому оперирование математическими знаками способно служить открытию новых математических истин.

Решающей силой развития математической символики является не свободная воля математиков, а требования практики математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают математикам в конце концов выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру рассматриваемых количественных отношений, в силу чего может быть эффективным орудием их дальнейшего изучения. 1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления. Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности.

В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов.

А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях зарубки на бирках располагались определенными группами. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово двадцать три - не просто термин, означающий вполне определенную по числу элементов группу объектов это термин составной, означающий два раза по десять и три. Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах.

Система счисления, которой мы в основном пользуемся сегодня, десятичная позиционная. Десятичная, так как ее основание 10. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. В позиционных системах счисления количественный эквивалент значение цифры зависит от ее места позиции в записи числа Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10. Десятичной позиционной предшествовали другие, основанные на различных принципах, системы счисления.

Так примером непозиционной системы то есть такой системы, где количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения места, позиции в записи числа может служить нумерация, используемая древними греками.

Эта система относится к числу алфавитных. Первыми восемью буквами греческого алфавита с добавлением архаичной буквы вау, имевшей значение 6 обозначались числа от единицы до девяти, следующими восемью с добавлением коппы, имевшей значение 90 десятки от 10 до 90, следующими восемью с добавлением сампи, означавшей 900 сотни от 100 до 900, наконец, тысячи от 1000 до 9000 обозначались так же, как единицы, но со штрихом внизу, означала 1000. Для того чтобы отличать числа от слов, над ними ставилась черточка. Так, число 1305 греки записывали От греческой нумерации ведет свое происхождение древнерусская.

Пример другой непозиционной системы дает употребляемая поныне римская нумерация. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги например, страниц предисловия, глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так I 1 V 5 X 10 L 50 С 100 D 500 M 1000. О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок.

Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 или наоборот. Все целые числа до 5000 записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей в этом случае она не может повторяться, то меньшая вычитается из большей.

Например, VI 6, т.е. 5 1, IV 4, т.е. 5-1, XL 40, т е. 50-10, LX 60, т.е. 50 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз LXX 70 LXXX 80 число 90 записывается ХС а не LXXXX . Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII. Примеры XXVIII 28 ХХХIХ 39 CCCXCVII 397 MDCCCXVIII 1818. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно.

Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века. Древние египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса.

Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека.

В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале - папирусе.

Два таких документа - папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса ок. 1650 до н.э. и московский папирус, или папирус Голенищева ок. 1850 до н.э служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как вместо, а семьсот как вместо. В этой записи число 6789 имело вид, причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Основные недостатки непозиционных систем нумерации - трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений.

Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок - абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата. Крупным шагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание позиционных систем счисления. Первой такой системой стала вавилонская шестидесятеричная система счисления, в которой появился знак, указывающий на отсутствие разряда, выполняющего роль нашего нуля. Концевой нуль, который позволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал.

Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. К. Птолемей II в. н.э. при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком 0 для обозначения отсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа 0, омикрон - первая буква греческого слова ovden-ничто. О вавилонской шестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, а также деление угла равного четырем прямым, на 360 градусов.

Неудобство шестидесятеричной системы счисления в сравнении с десятичной - необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр от 0 до 59 , более громоздкая таблица умножения. Создание десятичной позиционной системы счисления, одного из выдающихся достижений средневековой науки заслуга индийских математиков. Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в. Так, в дарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми -3, -4, -6 . Первую достоверную запись нуля в виде кружочка мы находим в изображении числа 270 в настенной записи из Гвалиора, относящейся к 876г. Иногда ноль обозначался точкой.

Неясно, был ли нуль собственным изобретением индийцев возможно, они познакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов. Вот какова эволюция написания индийских цифр. 2.

Символика Виета и Декарта и развитие алгебры

Символика Виета и Декарта и развитие алгебры . 2.1

Развитие алгебры до Ф. Виета

Развитие алгебры до Ф. Виета . 2.1.1

Алгебра греков

300 гг. э. 260-170 гг. до н. Эта разность и квадрат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно ...

Алгебра Диофанта

Он ввел обозначения неизвестной, квадрата, куба, четвертой квадратоква... Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в друг... Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с р... F a, b 0. Очевиден геометрический смысл решения через рациональную точку кривой ...

Алгебра индусов

Алгебра индусов. Начиная с V в. Например, им было известно, что Греки, не знавшие отрицательных чисел,... Они распространили правила действия над рациональными числами на числа... 2.1.4 .

Алгебра арабов

Алгебра арабов. Дальнейшее развитие математика получила у арабов, заво... Переднюю Азию, Северную Африку и Испанию. Например, преобразовав уравнение 2х2 Зх -2 2х к виду 2х2 Зх 2х 2, мы п... Ал-мукабала означает сопоставление подобных членов, приведение их к од... Он высказывает правила, дающие только положительные решения уравнений,...

Развитие алгебры в Европе

д а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato напр... Шюке ум. Уравнение же x3 b ax a, b 0 можно решить с помощью уравнения 2 . Полное уравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с... Решая его, получим z1 z2 Таким образом, x u v, x.

Символика Виета и развитие алгебры

Операция, соответствующая делению чисел, дает новую величину, размерно... Если сторона latus умножается на неизвестную величину, то она называет... В качестве примера такого обоснования приведем геометрическое решение ... Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро и Тартальи, реш... Декарт 1596-1650 .

Символика Декарта и развитие алгебры

В сочинении Исчисление г. Декарта неизвестный автор изложил арифметические основы математики Дек... Г, История математики в XVI и XVII веках, с. Для теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла важ... представления целого многочлена с рациональными целыми коэффициентами ...

Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа

omn. В записях последующих дней от 1, 10, 11 ноября он отмечает такие же св... д. Чирнгаус заявил Лейбницу, что надо по возможности избегать новых обозн... Эта ошибка Лейбница - не только математический недосмотр, она имеет лю...

Язык кванторов и основания математической логики

Язык кванторов и основания математической логики.

В связи с тем, что элементы логики представляют собой неотъемлемую составную часть школьного обучения математике, они должны изучаться в единстве с собственно математическим материалом на всех этапах обучения. Соответствующий язык необходимо вводить постепенно для обозначения уже разъясненных математических и логических понятий, чтобы в дальнейшем он становился необходимым компонентом обиходного математического языка. 4.1

Алгебра высказываний

Их будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c x, y, z. Алгебра высказываний. Эта тема важна для школьной математики. 4.1.1 . Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и тольк... Не овладев ее основными действиями, нельзя понять последующие темы, ка...

Определения основных логических связок

Примеры. Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а b чит... Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в элемен... Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одним из знако... Пусть, например, дано сложное высказывание b с b a и пусть входящие в ...

Высказывания и булевы функции

Одной из основных задач алгебры высказываний является установление зна... Такие функции называются булевыми функциями по имени Д. Естественно, закономерности булевой алгебры менее привычны и вызывают ... Тогда А В В А, A B B A A В C А В C A В C А В C A A A A A A A 1 A A 1 A... Проверьте равенство XY Z XZ YZ и XY Z XZ YZ , составляя таблицы истинн...

Предикаты и кванторы

Теория предикатов исходит из следующей установки. В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую... и существует некоторый, найдется и т. Для этого достаточно несколько раз применить правило де Моргана для кв... Задания для учащихся.

Методические рекомендации к теме Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления

Методические рекомендации к теме Введение нуля и развитие позиционной ... дальше. Нужно отметить, что сейчас нуль это не просто знак для отделения разря... Далее, я считаю, что нужно рассмотреть десятичную непозиционную систем... Только тогда они смогут по достоинству оценить заслугу индийских матем...

Список литературы

Список литературы 1. Алексеев Б. Т. Философские проблемы формализации знания.

Издательство ленинградского университета. 1981. 2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М издательство иностранной литературы. 1963. 3. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М Наука . 1966. 4. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М Наука . 1967. 5. Глейзер Г.И. История математики в школе.

Пособие для учителей. Под ред. В.Н. Молодшего. М Просвещение , 1964. 6. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. М Просвещение , 1978. 88с. 7. Нешков К.И. И др. Множества. Отношения. Числа. Величины. Пособие для учителей. М. Просвещение , 1978. 63 с. 8. Марков С.Н. Курс истории математики Учебное пособие Иркутск Издательство иркутского университета, 1995 248с. 9. Молодший В.Н. Очерки по истории математики.

М. 10. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв М Наука . 1979. 11. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. М Знание , 1973. 12. Погребысский И.Б. Гольфрид Вильгельм Лейбниц. М Наука . 1971. 13. Рыбников К.А. История математики. Издательство московского университета. 1974. 14. Таваркиладзе Р.К. О языке школьного курса математики. Математика в школе . 15. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия.

Пособие для студентов физ мат. фак. пед. институтов. Под ред. А.П. Юшкевича. М Просвещение , 1976. 16. Энциклопедический словарь юного математика. М Педагогика . 1989.

– Конец работы –

Используемые теги: содержание, значение, математической, символики0.069

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Содержание и значение математической символики

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Структура, содержание и значение общей части Налогового кодекса России
Налоговые агенты. Представительства в налоговых правоотношениях. 9 Глава 3. Налогоплательщики и плательщики сборов. Налоговые агенты 9 Глава 4.… Ответственность налоговых органов, таможенных органов, органов государственных… Владение основами и особенностями теории и практики современного российского налогообложения, умение ориентироваться…

Структура, содержание и значение общей части Налогового кодекса России
Налоговые агенты. Представительства в налоговых правоотношениях. 9 Глава 3. Налогоплательщики и плательщики сборов. Налоговые агенты 9 Глава 4.… Ответственность налоговых органов, таможенных органов, органов государственных… Владение основами и особенностями теории и практики современного российского налогообложения, умение ориентироваться…

СИСТЕМА МУЗЫКАЛЬНОГО ВОСПИТАНИЯ Д.Б. КАБАЛЕВСКОГО И ЕЕ ИНТЕРНАЦИОНАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ОБНОВЛЕНИЯ ПРИНЦИПОВ, СОДЕРЖАНИЯ, МЕТОДОВ И ФОРМ
ББК... Б... Печатается по решению Редакционно издательского совета ГОУ ВЛО МГПУ Автор доктор педагогических наук профессор Е А Бодина...

Принцип параллелизма формы и содержания мышления и его значение для традиционных логических и психологических исследований
На сайте allrefs.net читайте: Принцип параллелизма формы и содержания мышления и его значение для традиционных логических и психологических исследований*. 3. Конец страницы I...

Бизнес-план: его значение и содержание
Этот документ анализирует все проблемы, с которыми может столкнуться предприятие, и определяет способы их решения. Основные показатели первого года рекомендуется делать в помесячной разбивке,… Существует значительное число разработок по составлению бизнес-плана, но все они похожи и отличаются лишь…

Трудовой договор: его понятие, виды, значение, содержание
Трудовой договор занимает определенное место как в системе объективного, так и в системе субъективного права.Напомню, что под объективным правом… В число таких отраслей входит трудовое право. Трудовой до¬говор,… Следует подчеркнуть, что трудовой договор, рассматриваемый в категориях объективного права, представляет собой…

Экономическое содержание и механизм функционирования ссудного процента Экономическое содержание и механизм функционирования ссудного процента
С развитием в нашей стране рыночных отношений, появлением предприятий различных форм собственности (как частной, так и государственной,… У предприятий всех форм собственности все чаще возникает потребность… Ссудный процент возникает там, где отдельный собственник передает другому определенную стоимость во временное…

Место товародвижения в системе маркетинга. Значение и содержание маркетинговых исследований
Как для производителя, так и для любого посредника сейчас важна современная грамотно спроектированная технология канала продвижения товара к… При этом проверенным многолетней практикой зарубежным опытом посредничества… Зарубежные авторы под товародвижением понимают систематическое принятие решений в отношении физического перемещения и…

Коэффициентом, равным. А/Ах Для получения истинного значения следует измеренное значение умножить на поправочный коэффициент
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ... Любое измерение выполняется с некоторой погрешностью ошибкой которая... По способу числового выражения различают абсолютные погрешности А выраженные в единицах измеряемой величины и...

Тема: Введение, история предмет и содержание медицинской микробиологии, иммунологии, вирусологии. Классификация микроорганизмов, имеющих медицинское значение.
Микробиология это раздел биологии изучающий закономерности жизни и развития микроорганизмов в единстве с окружающей средой... Эта наука изучает свойства микроорганизмов и процессы которые они вызывают в... Микробиология подразделяется на разделы Общую и медицинскую Медицинская на общую частную и санитарную...

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам