Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания

Министерство общего и профессионального образования Омский Государственный Педагогический Университет Математический факультет Заочное отделение Кафедра математического анализа Дипломная работа Применения дифференциальных уравнений для решения задач естествознания Выполнила Ушакова Маргарита Михайловна Научный руководитель ст. преподаватель Еропкин Ю. П. г. Омск 2001г. План. Введение 3Часть I.Основы теории дифференциальных уравнений.1. Общие сведения.2.Обыкновенные уравнения первого порядка. 1.Основные понятия. 2.Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными. 3. Линейные уравнения. 4. Уравнение Бернулли. 5. Уравнения в полных дифференциалах.3.Обыкновенные уравнения высших порядков. 1. Основные понятия. 2. Понижение порядка дифференциального уравнения. 3. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка. 4. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 5. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.4.Дифференциальные уравнения в частных производных. 1. Линейные уравнения первого порядка. 2. Некоторые уравнения математической физики.15Часть II.Применение дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно - научного цикла.1.Математическое моделирование.2. Решение физических задач 3. Решение геометрических задач 4. Решение задач по биологии 5. Решение задач по химии43Заключение48Список литературы49 Введение.

Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью дифференциальных уравнений.

Вс это и явилось главной причиной выбора темы работы. Материалом для данной работы послужила теория дифференциальных уравнений и наиболее известные задачи естествознания, решаемые с помощью дифференциальных уравнений.

Целью настоящей работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно научного цикла.

Достижение предполагаемой цели связано с решением частных задач 1. Описать теоретические основы дифференциальных уравнений 2. Рассмотреть некоторые примы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии. Концепция работы строится на основе имеющихся по проблеме исследований теории дифференциальных уравнений И. А. Зайцева, Н. Я. Виленкина, И. И. Баврина и др. Творчески осмыслены и подходы к математическому моделированию, предложенные в исследованиях М. П. Лапчика и Ю. А. Владимирова.

Методы исследования опираются на принципы функционального, сравнительного и сопоставительного изучения математических явлений. Работа состоит из двух основных частей - теоретическая часть рассматривает основные понятия теории дифференциальных уравнений практическая часть собственно решения задач из курса естествознания с помощью дифференциальных уравнений.

Часть I. Основы теории дифференциальных уравнений. 1.1

Общие сведения

Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых перемен... Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные ф... В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть об... Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, полу... Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций.

Обыкновенные уравнения первого порядка

Fx, y, y 0 неявный вид уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно прои... уравнения вида y fx, y или Мх, у dx Nх, у dy 0 называют уравнениями в ... Частный интеграл получается из общего при частном значении С. Если дифференциальное уравнение первого порядка y fx, y, имеет решение...

Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными

Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными. Уравнением с раз... Пример. Решить уравнение y у x. Разделяя переменные, получаем Интегрируя, имеем Для упрощения записи о... может принимать любое значение от - до.

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида Px y dx Qx y dy 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции Fx y в некоторой области G. Решение такого уравнения имеет вид 1.3.

Обыкновенные уравнения высших порядков

Основные понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка... Функция yx называется решением дифференциального уравнения n-го порядк... Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконеч... решить задачу Коши, достаточно определить начальные условия yx0 y0 yx0... 1.3.2.

Понижение порядка дифференциального уравнения

Пример 1. Уравнение Последовательным интегрированием получаем общее решение у fx... Уравнение Fу, у, у уn 0 сводится к уравнению n 1 порядка после замены ... Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка. Линейным дифференци... Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Здесь P1 и Q1 - многочлены от x с неопределнными коэффициентами степен... . Если fx f1xf2x, то частное решение где 1.4. В случае, когда fx eax Px cos bx Qx sin bx, где P и Q многочлены от x,...

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных . 1.4.1.

Линейные уравнения первого порядка

. Линейные уравнения первого порядка. Решение однородного линейного дифф...

Некоторые уравнения математической физики

. При идеализации явления отделяются условия, существенно влияющие на не... Телеграфное уравнение 3. Исследование этой идеализированной схемы можно уже формализовать, сост... Дифференциальные уравнения являются одним из самых популярных и мощных...

Решение физических задач

Получающееся равенство имеет лишь приближнный характер, поскольку вели... Подставим в равенство 4 значение найдм t1 и получим, что Ясно, что, че... Получили дифференциальное уравнение движения тела линейное однородное ... е. Ответ.

Решение геометрических задач

Выберем начало координат в точке 0, ось абсцисс направим по оси вращен... Искомой поверхностью является параболоид вращения, причм источник свет... Задача2. Перепишем это уравнение в виде и продифференцируем обе части неравенст... Кривая, для любой точки которой центр тяжести криволинейной трапеции, ...

Решение задач по биологии

. е. е. 2. у зрелого растения с ростом не меняются отношения геометрических разме...

Решение задач по химии

С другой стороны, для осуществления химической реакции между веществам... В химии часто различают реакции по общему числу молекул, входящих в ле... Обозначим через а - первоначальное количество вещества А, через х - ко... Полученный результат хорошо соотносится с теорией радиоактивного распа... За какое время она уменьшится на 15 Решение.

Заключение

Заключение. Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций или их дифференциалы.

Такие уравнения называются дифференциальными. Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно научного цикла довольно широки. В представленной работе - описаны теоретические основы дифференциальных уравнений - рассмотрены некоторые примы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии.

В ходе работы, возникла необходимость более полного, чем предполагалось, изучения основ моделирования реальных объектов. Практическая ценность метода математического моделирования заключается в следующем - правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель позволяет оптимизировать изучение реальной системы по времени - математическая модель позволяет облегчить прогнозирование хода и результатов экспериментов, проводимых в реальных системах.

Список литературы

Список литературы . 1. Баврин И. И. Высшая математика Учебное пособие для студентов хим биол. фак. пед. ин-тов М. Просвещение, 1980. 2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ мат. фак М. Просвещение, 1984. 3. Владимиров Ю. А. и др. Биофизика Учебник М. Медицина, 1983. 4. Глинка Н. Л. Общая химия Учебное пособие для вузов М. Химия, 1985. 5. Зайцев И. А. Высшая математика учебник для неинж. спец. с х. вузов М. высшая школа, 1991. 6. Лапчик М. П. Вычисления.

Алгоритмизация. Программирование Пособие для учителя М. Просвещение, 1988. 7. Маковецкий П. В. Смотри в корень Сборник любопытных задач и вопросов М. Наука, 1979. 8. Роджерс Эрик Физика для любознательных, том 3 М. Мир, 1973. 9. Справочник машиностроителя, том 1 М. МАШГИЗ, 1956. 10. Хомченко Г. П. Химия для поступающих в вузы Учебное пособие М. Высшая школа, 1993. 11. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике Учебное пособие для вузов М. Высшая школа, 2001. 12. Штейнгауз Гуго Задачи и размышления М. Мир, 1972.