Реферат Курсовая Конспект
Работа сделанна в 2001 году
Решение геометрических задач - Дипломная Работа, раздел Математика, - 2001 год - Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания Решение Геометрических Задач. При Решении Геометрических Задач С Помощ...
|
Решение геометрических задач.
При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий - сделать чертж и ввести обозначения - отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках - выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной - по условию задачи составить дифференциальное уравнение - найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.
Задача1. Определить поверхность, по которой необходимо отшлифовать зеркало прожектора, чтобы все лучи, выходящие из источника света, помещнного в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси рис.5. Решение. Возьмм меридианное сечение поверхности вращения. Выберем начало координат в точке 0, ось абсцисс направим по оси вращения и обозначим угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к искомой кривой, проведнной в точке Mx y, через б. Тогда по условию задачи имеем LSMT б. Но LOMN LTMN угол падения равен углу отражения, поэтому LOMA LSMT б. Таким образом, треугольник OAM - равнобедренный и ОАОМ. Из чертежа видно, что АОАР-ОРу сtg б - x. Поскольку сtg б 1 tg б 1y, то АОАР-ОР у y - x. С другой стороны, Получаем дифференциальное уравнение Запишем его в форме Получили однородное дифференциальное уравнение.
После подстановки x yu, dx udy ydu, получаем уравнение с разделяющимися переменными Преобразования дают Интегрируя, находим Запишем полученное уравнение в виде Получаем у 2 - 2Сх С 2, или, приводя к каноническому виду у2 2рх В результате, мы получили семейство парабол, симметричных относительно оси абсцисс, с параметром С и с вершиной, находящейся в точке С2 0, причм фокусы всех этих парабол находятся в точке 0. Ответ. Искомой поверхностью является параболоид вращения, причм источник света находится в фокусе вращающейся параболы.
В некоторых случаях решение задач приводит к уравнениям, содержащим искомую функцию под знаком интеграла, т. е. Так называемым интегральным уравнениям.
Такие уравнения после дифференцирования обеих частей иногда сводятся к дифференциальным уравнениям. Задача2. Найти кривую, обладающую следующим свойством для любой точки Мх у центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку М с е проекцией на ось абсцисс рис.6, равен абсциссы этой точки. Решение.
Из теории интегрального исчисления известно, что абсцисса центра тяжести данной криволинейной трапеции выражается формулой где t переменная интегрирования, а у уt уравнение искомой кривой. По условию задачи имеем уравнение Это уравнение является интегральным, так как искомая функция в нм содержится под знаком интеграла. Перепишем это уравнение в виде и продифференцируем обе части неравенства по х. Известно, что производная интеграла по верхнему пределу интегрирования равна соответствующему значению подынтегральной функции, откуда Это уравнение так же является интегральным.
Приведм подобные и вторично продифференцируем Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Согласно п.1.2.2 его общее решение Заметим, что вообще, любое дифференциальное уравнение у fx y с начальными условиями yx0 y0 равносильно интегральному уравнению Ответ. Кривая, для любой точки которой центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку с е проекцией на ось абсцисс, равен абсциссы этой точки является любой параболой из семейства 2.4.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому… Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических… Вс это и явилось главной причиной выбора темы работы. Материалом для данной работы послужила теория дифференциальных…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение геометрических задач
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов