Решение физических задач

Решение физических задач. с помощью дифференциальных уравнений.

В соответствии со сказанным в п.2.1 решение физической задачи реальной жизни должно последовательно проходить в три этапа - составление дифференциального уравнения - решение этого уравнения - исследование полученного решения. При этом рекомендуется следующая последовательность действий 1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их. 2. Выбрать независимую переменную и функцию этой искомой переменной. 3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия. 4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. 5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение. 6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. 7. По начальным или краевым условиям найти частное решение. 8. Исследовать полученное решение.

Во многих случаях составление дифференциального уравнения основывается на так называемой линейности процесса в малом, т. е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин.

Как правило, можно считать, что все участвующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются с постоянной скоростью.

Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями t, t Дt, т. е. между величинами, участвующими в процессе, и их приращениями. Получающееся равенство имеет лишь приближнный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времени, вообще говоря, неравномерно. Но, если разделить обе части получившегося равенства на Дt и перейти к пределу, когда Дt 0, получится точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т. е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление.

То же самое уравнение в дифференциальной форме можно получить, заменив приращение Дt на дифференциал dt, а приращение функций - соответствующими дифференциалами. Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы мгновенный снимок процесса в данный момент времени, а при решении уравнения по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса.

Общая идея замены функций на малых промежутках аргумента линейными функциями, лежащая в основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений, называется линеаризацией. И хотя встречаются процессы, для которых линеаризация невозможна например, броуновское движение, описываемый метод в подавляющем большинстве случаев действует безотказно. Задача 1. В дне цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего высоту Н и радиус основания R, сделано небольшое отверстие площади S рис.1. За какой промежуток времени через отверстие вытечет вся вода, если треть воды вытекает за t1 секунд Решение.

Если бы истечение воды происходило равномерно, то решение задачи было бы тривиальным вся вода вытечет за время 3t1 c. Но, реально, сначала вода вытекает быстро, а по мере снижения уровня воды в сосуде скорость е истечения уменьшается. Таким образом, необходимо учесть зависимость между скоростью истечения v и высотой h столба жидкости над отверстием.

Опыты Торричелли показали, что скорость приближнно выражается формулой, где q ускорение свободного падения и k безразмерный коэффициент, зависящий от вязкости среды и формы отверстия для воды в случае круглого отверстия k 6. Сделаем мгновенный снимок процесса истечения жидкости за промежуток времени t, t Дt. Пусть в начале этого промежутка высота жидкости над отверстием равнялась h, а в конце его она понизилась и стала h Дh, где Дh приращение высоты которое, очевидно, отрицательно.

Тогда объм жидкости, вытекшей из сосуда, равен объму цилиндра с высотой Дh - Дh и площадью основания рR2 Дh. Эта жидкость вылилась в виде цилиндрической струйки, имеющей площадь основания S. Е высота равна пути, пройденному вытекающей из сосуда жидкостью за промежуток времени t, t Дt. В начале этого промежутка времени скорость истечения равнялась по закону Торричелли, а в конце его она равнялась Если Дt весьма мало, то и Дh тоже очень мало и потому полученные выражения для скорости практически одинаковы, а путь, пройденный за промежуток времени t, t Дt, выражается формулой где объм вылившейся из сосуда за промежуток времениt, t Дt жидкости.

Приравнивая два выражения для объма жидкости, вылившейся из сосуда за промежуток времени t, t Дt, получаем уравнение Недостатком уравнения 1 является то, что нам не известно выражение для б. Для устранения этого недостатка, разделим обе части уравнения 1 на Дt и перейдм к пределу при Дt 0. Учитывая, что Получаем дифференциальное уравнение Для решения уравнения 2, разделим переменные и обозначим для краткости дробь через А Получаем уравнение Интегрируя обе части, получаем Мы получили зависимость между t и h, в которую входят две постоянные А и С. Постоянная А зависит от размеров и формы отверстия, вязкости жидкости и других физических параметров, а постоянная С возникла в ходе решения задачи.

Их значения нам не известны, но их можно найти, учтя не использованные ещ условия задачи. Для нахождения С используем начальные условия в начале истечения жидкости сосуд был наполнен, т. е. при t 0 высота h H. Подставляя в формулу 3 t 0, h H, получаем Равенство 3 можно переписать в виде Для нахождения А, учтм, что за первые t1 минут вытекла треть всей жидкости.

Этому соответствует понижение уровня жидкости на H3. Иными словами, при t t1 имеем h H - H3 2H3. Отсюда находим, что и потому Теперь уже не трудно найти время опорожнения сосуда, т.е. найти такое значение t, при котором h 0 Заметим, что хотя последнее значение t примерно в 1,82 раз больше значения 3t1, которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно, оно не является безукоризненно точным, так как мы пренебрегли, например, явлениями капиллярности существенными при малом диаметре отверстия, завихрениями жидкости, пограничным слоем жидкости и многими иными факторами.

Исследуем полученное решение. Подставим в равенство 4 значение найдм t1 и получим, что Ясно, что, чем больше значения R и H размеры сосуда, тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа.

Чем больше площадь отверстия S, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения q, а так же коэффициента k чем больше k, тем больше скорость истечения жидкости в формуле Бернулли. Таким образом, формула выдержала испытание на здравый смысл, что в совокупности с испытанием на размерность подтверждает, что задача решена верно. Ответ. Вся вода вытечет через отверстие за промежуток времени Во многих случаях составление дифференциальных уравнений по условию задачи облегчается тем, что соответствующий закон физики связывает между собой значение некоторой величины и скорости е изменения, либо связывает друг с другом значения величины, скорости е изменения и ускорения.

Задача 2. В замкнутую электрическую цепь рис.2 последовательно включены источник тока с ЭДС Еt, меняющейся с течением времени, активное сопротивление R и катушка с индуктивностью L. Как изменяется сила тока с течением времени, если в начальный момент при t 0 она равнялась нулю Решение.

Из курса физики известно, что Et Uакт Uкат, где Uакт - напряжение на активном участке цепи, выражаемое по закону Ома Uакт IR, а Uкат - пропорционально скорости изменения силы тока с коэффициентом пропорциональности L Uкат LI. Имеет место равенство LI RI Et. Разделим обе части уравнения 5на L I RLI Et L. Мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка для силы тока с начальным условием I0 0. Общим решением такого уравнения, согласно п. 1.2.3. является Разберм два случая 1. ЭДС - постоянная величина, Еt Е0. В этом случае из уравнения 6 В силу начального условия I0 0, т. е. 0 E0 1 CR, откуда получим C -1 и потому Отмечаем, что при t получаем, что I E0 R, т. е. после включения постоянной ЭДС значение возрастает от нуля до значения E0R, даваемого законом Ома рис. 3. 2. ЭДС периодически изменяется по синусоидальному закону E E0 sin щt. В этом случае из уравнения 6 имеем Из начального условия I0 0 находим, что С течением времени при t второе слагаемое стремится к нулю, т. е. Если положить то это равенство можно записать в виде Ответ. Колебания силы тока - предел синусоидальных синусоидальные колебаний ЭДС со сдвигом фазы. В природе и технике очень широко распространены процессы, в которых какая либо характеристика последовательно отклоняется то в одну, то в другую сторону от своего определнного значения колебательные процессы.

Описать колебательный процесс это значит выбрать характерный параметр процесса, зависящий от времени, и составить уравнение колебаний, которому он подчиняется. Широкое применение при изучении различных колебательных явлений находят линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Задача 3. На вертикальной пружине закреплн груз массой m рис.4. Груз выводят из положения равновесия в вертикальном направлении и потом отпускают.

Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую и примем за начало координат. Составим дифференциальное уравнение, опираясь на II закон Ньютона F ma 8 Здесь m масса груза, а ускорение движения, F результирующая всех сил, приложенных к телу. В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось Ох равна mq, уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины mq щ л 9 здесь щ - коэффициент жсткости пружины. Обозначим через xt отклонение груза от положения равновесия.

В момент времени t на тело будут действовать две силы сила тяжести mq, тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная щ л х и направленная вверх. Результирующая сила будет равна F mq щ л х, или в силу 9 F щ х. На основании закона Ньютона 8 получаем mа щ х. 10 В случае прямолинейного движения вдоль оси Ох ускорение равно xt. Равенство 10 можно записать в виде m x щ х, откуда x щ2 х 0, 11 где щ2 щm 0. Получили дифференциальное уравнение движения тела линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решения которых рассмотрены в п.1.3.4. Корнями его характеристического уравнения r2 щ2 0 являются комплексные числа r1,2 щi, поэтому общее решение уравнения 11 имеет вид x C1 cos щt C2 sin щt. Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем его Положим Тогда общее решение уравнения запишется так x Аsin б cos щt cos б sin щt, или x А sin щt б, 12 где А и б новые произвольные постоянные.

Величина А называется амплитудой колебания, аргумент щt б фазой колебания, его значение б при t 0 начальной фазой, щ частотой колебания. Пусть в начальный момент времени t 0 отклонение груза от положения равновесия равно x0, а скорость движения x0, т.е. x0 x0, x0 x0. По этим начальным условиям можно найти амплитуду и начальную фазу. В силу условий при t 0, учитывая равенство xt Ащ cos щt б, получаем Аsin б x0, Ащ cos б x0, откуда Подставив найденные значения А и б в 12, получим Формула 12 выражает закон движения груза. Из не видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Частота и период колебания соответственно равны Как видно, частота и период колебания зависят только от жсткости пружины и массы груза, т. е. определяются свойствами самой системы.

Амплитуда же колебаний и начальная фаза зависят также от начальных условий x0, x0 см. 12. Ответ. Движение груза на вертикальной пружине - гармонические колебания около положения равновесия. 2.3.