Застосування похдно для розв язування рвнянь. Похдна в окремих випадках може бути застосована до розв язування рвнянь, а саме для встановлення клькост коренв або х вдсутност, для х знаходження. Так, наприклад, якщо мамо рвняння, де зростаюча або спадна функця, то, зрозумло, що рвняння не може мати бльше одного кореня, причому можна з впевненстю сказати, що вн буде, якщо а належить множин значень функц. А для визначення строго монотонност застосовуться похдна.
Використовують такий факт якщо многочлен k-го степеня ма k дйсних коренв, то його похдна ма х k 1 . Розглянемо застосування похдно до розв язування рвнянь на конкретних прикладах. Приклад 1. Яким умовам повинн задовольняти параметри p та q, щоб рвняння мало три рзних дйсних корен Розв язання.
Розглянемо функцю. Для того щоб дана функця мала три рзн нул, необхдно, щоб похдна мала два рзних нул. А це буде тод, коли. Звдси. Отже, похдна ма один додатний один вд мний корнь. Тод функця ма обов язково один вд мний корнь. А це можливо за умови, що. Отже Приклад 2.Скльки дйсних коренв ма рвняння Розв язання. Розглянемо функцю. Знайдемо похдну. Нехай а х 0, тод очевидно, 0 б х0, тод в x 0, тод знову ж таки 0. Отже, похдна всюди додатна, за винятком одн зольовано точки х0. це означа, що функця f зроста на всй числовй ос. Тому дане рвняння не може мати бльше одного кореня.
Оскльки, то нуль тим диним коренем. Приклад 3.Розв язати рвняння. Тривальним коренем рвняння х0. доведемо, що нших коренв рвняння не ма. Розглянемо функцю. Знайдемо похдну для будь-якого. Отже, функця зроста на всй числовй ос. Тому рвняння не ма бльше коренв. Приклад 4.Розв язати рвняння. Розглянемо функцю. Вона диференцйована на всй област визначення. Знайдемо похдну. Очевидно, для. А це означа, що рвняння ма лише один корнь найвищий показник степеня непарний.
Тривальним коренем х1. Вдповдь 1. Лтература 1. ТММ под редакц. К. В. Фролова 4.2 4.4 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969. 3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. Наука. 1969 4. Данко П.Е Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах ч1, ч2. М. Высшая школа. 1974.