рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру

Работа сделанна в 2005 году

Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру - раздел Математика, - 2005 год - Педальный треугольник Шварцу И То Же Минимальное Свойство Ортоцентрического Треугольника По Л.фейер...

Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру. Ортоцентрический треугольник как частный случай педального треугольника. рис.15 Определение. Пусть Р- точка пересечения высот треугольника АВС, т.е. его ортоцентр, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1, РС1 соответственно.

Треугольник А1В1С1, называется ортоцентричеким треугольником относительно данного треугольника АВС. Свойства ортоцентрического треугольника. Свойство1. Если высоты треугольника АВС пересекаются в точке H, то каждая из четырх точек А, В, С, H есть ортоцентр треугольника с вершинами в трх других точках. Доказательство. рис.16 Рассмотрим в качестве примера точку А рис.16. Эта точка есть ортоцентр треугольника BHC, так как BD, HE, CF- его высоты.

Прямая, соединяющая две из четырх точек А, В, С, H, перпендикулярна прямой, соединяющей две другие точки. Свойство доказано. Свойство 2. Шесть дуг описанной окружности, определяемых тремя вершинами остроугольного треугольника и тремя точками пересечения продолжений высот с описанной окружностью, попарно равны. Доказательство. рис.17 На рис.17 видно, что треугольники ADC и AFB подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол А у них общий, поэтому ABB1ACC1. Аналогично BCC1DFF1 и CAA1CBB1. Из теоремы о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следует, что АВ1С B11 , 1 1 , СВ1. Свойство доказано.

Свойство 3. Расстояние от ортоцентра до стороны треугольника равно отрезку от основания высоты до точки пересечения продолжений высоты с описанной окружностью. Доказательство. Треугольники AFH и AFB1, ADH и ADC1, BEA1 и BEH равны по катету и острому углу рис.17. Следовательно, HF FB1, HE EA1, HD DC1. Свойство доказано. Свойство 4. Произведение отрезков, на которые высота остроугольного треугольника делит противоположную сторону, равно произведению высоты на отрезок е ортоцентра до основания высоты.

Доказательство. Доказательство сводится к следствию из теоремы о том, что произведение отрезков хорды, проходящей через данную точку, есть величина постоянная, т.е. по рис.17 ADDBCDD C1. Так как по третьему свойству HD DC1, то ADDBCDНD. Свойство доказано. Свойство 5. Произведение отрезков высоты от вершины до ортоцентра и от ортоцентра до основания есть величина постоянная.

Доказательство. По той же теореме, на которую была ссылка в доказательстве четвртого свойства, имеем ВННВ1АННА1 СННС1. Или по третьему свойству 2ВННF2АННE 2СННС1, таким образом, ВННFАННE СННС1. Свойство доказано. Теоремы об ортоцентрическом треугольнике. Прежде чем сформулировать теоремы, введм следующие понятия Определение. Если на стороне АВ треугольника АВС или на продолжении стороны выбрать произвольную точку D рис.18 и через не провести прямую DF так, чтобы ADFC,то прямая DF антипараллельна стороне ВС. рис.18 Через произвольную точку D на стороне АВ треугольника АВС можно провести две антипараллели DF, антипараллельную ВС, и DE, антипараллельную АС. Если на гипотенузе прямоугольного треугольника выбрать произвольную точку и из этой точки восстановить перпендикуляр к гипотенузе, то этот перпендикуляр антипараллелен катетам.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, антипараллельна катетам.

Теорема 1. Окружность, проведнная через вершины треугольника, пересекает две стороны треугольника в точках D и F так, что DF антипараллельна третьей стороны. Доказательство. рис.19 Имеем СDF В р, как сумма противолежащих углов вписанного четырхугольника рис.19. CDF FDA р. Отсюда, В FDA, тогда по определению DF и CB антипараллельны. Теорема доказана. Теорема 2. Касательная, проведнная в вершине треугольника к окружности, описанной около треугольника, антипараллельна противоположной стороне. Доказательство.

EAB измеряется половиной дуги АМВ C измеряется половиной дуги АМВ рис.20. Следовательно, C EAB. рис.20 Теорема доказана. Определение. Треугольник, стороны которого касаются окружности, описанной около данного треугольника, в вершинах этого треугольника, называется тангенциальным треугольником. Треугольник А1В1С1- тангенциальный относительно данного остроугольного треугольника АВС рис.21. рис.21. Выразим углы тангенциального треугольника через углы данного.

Угол А1 измеряется полуразностью дуг САВ и ВС А1 САВ ВС 2р- 2ВС р- ВС р- 2A. Для углов В1 и С1 получаются аналогичные выражения А1 р- 2A, В1 р- 2В, С1 р- 2A. Теорема 3. Стороны ортоцентрического треугольника антипараллельны сторонам данного. Доказательство. Углы АВ2В и АА2В прямые рис.21, следовательно, около четырхугольника АВ2А2В можно описать окружность, т.е. по теореме 1 В2А2 антипараллельна АВ. Аналогично, стороны В2С2 и С2А2 соответственно антипараллельны ВС и СА. Теорема доказана.

Теорема 4. В остроугольном треугольнике высоты треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника. Доказательство. Треугольники А2ВА и С2ВС подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно, АВСВ А2ВС2В рис.22 таким образом, треугольники А2ВС2 и АВС подобны по второму признаку подобия треугольников рис.22. Из подобия треугольников следует, что C2A2B A, A2C2B C AA2C2 р2 - C2A2B р2 -A, CC2A2 р2 - C. Подобным же образом можно получить BB2A2 р2 -B, CC2B2 р2 - C. AA2B2 р2 -A, BB2C2 р2 -B. Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника.

Теорема доказана. Следствие. Ортоцентричекий и тангенциальный треугольники остроугольного треугольника подобны. Доказательство. Действительно, углы ортоцентрического треугольника соответственно равны углам тангенциального треугольника рис.22. A1 р- 2A, B1 р- 2B, C1 р- 2C. A2 2р2 -A р- 2A, B2 р- 2B, C2 р- 2C Теорема доказана.

Рассмотрим более обобщающую теорему, т.е. более сильное утверждение. Теорема 5. Если в треугольнике АВС две прямые ВМ и СN, исходящие из вершин треугольник, пересекаются на высоте АD, то эта высота есть биссектриса угла МDN. Доказательство. Опустим из точек M и N перпендикуляры MF и NH на сторону ВС рис.23. рис.23 ВМNH G,CNMFE. Треугольники NOG и EOM подобны, так как NOG EOM как вертикальные углы, NGO OME как внутренние накрест лежащие, т.е. по первому признаку подобию.

Следовательно, NGME NOOE HDDF. Далее MEMFAOAD NGNH, т.е. NHMF NGME. Сравнивая полученные равенства, получаем NHMF HDDF. Следовательно, треугольники NHD и MFD подобны, NDH MDF и высота АD делит угол пополам. Теорема 4 есть частный случай доказанной теоремы. Теорема доказана. Теорема 6. Площадь остроугольного треугольника равна среднему геометрическому площадей ортоцентрического и тангенциального треугольников. Доказательство. рис.24 Обозначим площади и полупериметры основного, ортоцентрического и тангенциального треугольников соответственно через S, p, Sh, ph, St, pt. Из подобия тангенциального и ортоцентрического треугольников получаем StSh pt2ph2 1, St ptR 2. Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей следующих трх четырхугольников АВ2ОС2, А2ОВ2С, А2ОС2В рис.24. Диагонали этих четырхугольников взаимно перпендикулярны, так как радиусы ОА, ОВ, ОС соответственно перпендикулярны к прямым В2С2, А2С2, А2В2 эти прямые параллельны касательным в вершинах треугольника к окружности, описанной около треугольника.

Поэтому S R А2С2 R А2В2 R В2С2 Rph 3. Равенства 2 и 3 дают St S ptph 4. Сравнивая равенства 1 и 4, получим St2 S2 StSh. Отсюда, S2 StSh, или Sv StSh. Из равенства 3 следует ph SR. Теорема доказана.

Доказанная нами теорема есть частный случай следующей теоремы. Теорема 7. Если в данный треугольник и около данного треугольника описать треугольник так, чтобы их стороны были параллельны, то площадь данного треугольника равна среднему геометрическому между площадями вписанного и описанного треугольников.

Доказательство. Пусть в треугольник АВС вписан треугольник DEF и около треугольника АВС описан треугольник MNP стороны треугольника DEF параллельны сторонам треугольника MNP рисю25. рис.25 Соединим точку N с точками D, E, F и M с точками D и F. SABC SAEF SEFD SECD SBFD. SAEF SENF так как ANEF SBFD SMFD так как MPFD SDCE SDNE так как NPDE SDEF SDEF SABC SENF SMFD SDNE SBFD SDNF SMDF DFNK2 DFML2 b1H2, где DF b1, H- высота треугольника MNP, проведнная из вершины N SMNP bH2, где МР b SDEF b1H12, где Н1- высота треугольника DEF. Таким образом, имеем SMNP SDEF bHb1H1 bb1 SABC SDEF HH1 bb1 следовательно, SMNP SDEF SABC SDEF. Теорема доказана.

Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л. Фейеру. Теорема. Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник АВС, ортоцентрический треугольник имеет наименьший периметр.

Доказательство Г.А. Шварца. Отразим треугольник АВС от стороны ВС полученный таким образом треугольник А ВС отразим от стороны СА результат этого второго отражения отразим от стороны А B и после этого произведм ещ три отражения последовательно от сторон B C , C A и АB рисю26. рис.26 Непосредственно видно из чертежа, что положение ABC может быть получено простым параллельным переносом. Чтобы убедиться в этом, проследим, что происходит с треугольником после двух первых отражений. Вместо того, чтобы подвергать его двукратному отражению, можно перевести исходный треугольник в третье положение простым вращением его по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной вершины С на угол 2гб, в,г-углы, соответствующие вершинам А, В и С. Точно так же можно перевести его из этого положения в пятое вращением по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной точки B на угол 2в, и вращением на угол 2б вокруг неподвижной точки А можно перевести его в положение седьмое, то есть в конечное положение.

В сумме мы повернули бы треугольник АВС по часовой стрелке на угол 2г2в2б, то есть на угол равный 2р. В результате, треугольник АВС совершает полный оборот и принимает то же самое положение, что и вначале, оказываясь передвинутым в своей плоскости параллельно самому себе. Следовательно, ВС параллельна BC. Проследим теперь за теми изменениями, которые получит при этих последовательных отражениях ортоцентрический треугольник FEG. Можно доказать, что AFGCFE. На основании этого утверждения замечаем, что отрезок EG в свом втором положении и, точно также, в последующих положениях одна из сторон треугольника будет последовательно располагаться на продолжении прямой, проходящей через FE. Поэтому, прямая EE будет состоять их шести отрезков, из которых два равны FG, два EG и два FE следовательно, она равна удвоенному периметру треугольника WUV. Проследим точно таким же образом за положениями, которые будет последовательно принимать какой-либо другой треугольник WUV, вписанный в данный треугольник АВС. Так же убедимся, что ломаная линия UV W U VWU, равна удвоенному периметру треугольника WUV. В четырехугольнике EEUU противоположные стороны UE и UE параллельны и равны, как соответственные отрезки в различных положениях треугольника АВС. Следовательно, EEUU параллелограмм, а значит, UU EE . Таким образом, UU также равно данному периметру треугольника FEG. Но с другой стороны, непосредственно очевидно, что UU короче проведнной между теми же конечными точками ломаной. Следовательно, периметр треугольника FEG меньше периметра треугольника WUV, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Доказательство Л. Фейера.

Пусть в данный остроугольный треугольник АВС вписан произвольный треугольник WUV так, что его вершина U лежит на стороне ВС, V на стороне СА и W на стороне АВ. Отобразим зеркально вершину U от двух прямых АС и АВ. Пусть е зеркальными образами будут соответственно точки U и U. В силу основных свойств зеркального отображения, отрезок UV равен отрезку U V, а отрезок UW равен отрезку UW. Поэтому периметр треугольника WUV, составленного из отрезков UV, VW и WU, будет равен длине ломаной линии U VWU рис.27. рис.27 Если оставить точку U на прежнем месте, а точкам V и W придать другое положение, то точки U и U, положения которых определяются лишь только точкой U и данным треугольником АВС, останутся неподвижными.

Это означает, что ломаная линия U VWU, длина которой всегда равна периметру треугольника WUV, при всех возможных положениях точек V и W останется натянутой между неподвижными концами U и U. Но линия, соединяющая точки U и U, будет кратчайшей лишь в том случае, если она будет прямой.

Следовательно, отрезок U U дат величину наименьшего периметра, который может иметь вписанный треугольник с фиксированной вершиной U. Обозначим две остальные вершины такого треугольника с минимальным периметром и фиксированной вершиной U через M и N. Теперь необходимо сравнить между собой все минимальные треугольники, соответствующие различным положениям вершины U, и выбрать из них тот, периметр которого будет наименьшим периметром из всех возможных вписанных треугольников.

Таким образом, вершину U требуется поместить так, чтобы отрезок U U был наименьшим.

Заметим, что треугольник АU U равнобедренный, так как AUAU AU. Величина угла U AU от положения точки U не зависит и определяется заданным треугольником АВС. Действительно, UABUAB, UACU AC следовательно, UAU2UAB и U AU2UAC, таким образом, U AUUAU2UAB2UAC или U AU2CAB. Отрезок U U, который мы должны сделать наименьшим, является основанием равнобедренного треугольника AU U. Так как U AU от положения U не зависит, то во всех треугольниках AU U, полученных при возможных положениях U, углы при вершине совпадают. Из этих треугольников наименьшее основание имеет тот, у которого боковые стороны наименьшие.

Но AUAU AU, следовательно, U U будет наименьшим, если точка U будет выбрана так, чтобы расстояние АU было наикратчайшим.

Но отрезок AU соединяет точку А с прямой ВС. Известно, что кратчайшим расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр, следовательно, AU высота треугольника АВС, опущенная из вершины А. Построим искомый вписанный треугольник EFG наименьшего периметра. рис.28 Пусть Е- основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС. Пусть точка Е - точка, симметричная точке Е относительно АС, Е- симметричная точке Е относительно АВ. Тогда отрезок Е Е будет равен наименьшему периметру вписанного треугольника. Две другие вершины искомого треугольника определяются точками пересечения F и G прямой Е Е со сторонами АС и АВ. Задача всегда имеет одно решение, так как точка Е определнная Е- основание высоты АЕ и точки G и F при найденной точке Е также являются определнными.

Точка Е получена как основание высоты, опущенной из вершины А. Вершины G и F получены другим способом. Но можно было бы начать решение задачи с отыскания вершины G, а не Е тогда для е отыскания пришлось бы провести высоту СG. Так как задача допускает единственное решение, то точки G и F также служат основаниями высот и, следовательно, треугольник наименьшего периметра есть ортоцентрический треугольник.

Теорема доказана. Замечание. В доказательстве Шварца требование, чтобы треугольник был остроугольный необходимо, так как только в таком треугольнике его ортоцентрический треугольник целиком лежит внутри исходного треугольника. Это требование выражается в том, что ортоцентрический треугольник уже предполагается вписанным.

Если же треугольник является прямоугольным или тупоугольным, то наименьший по периметру вписанный треугольник является вырожденным- он представляет собой дважды взятую высоту треугольника, опущенную из наибольшего угла рис.29, периметр любого вписанного а АВС треугольника больше дважды взятой высоты рис.29 В доказательстве Фейера остроугольность треугольника связана с тем, что угол U AU меньше р, и точки пересечения M и N прямой U U с АС и АВ лежат на самих этих сторонах.

Точно так же основание высоты АЕ лежит на стороне ВС, а не на е продолжении.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Педальный треугольник

Определение. рис.1 Определение. Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС рис.1, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на… Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны… Замечание.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Свойства педального треугольника
Свойства педального треугольника. Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны ax, by, cz, где R ради

Теоремы о педальном треугольнике
Теоремы о педальном треугольнике. Теорема1. Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры la, lb, lс, соответственно на стороны a, b, c треугольника, то laha lbhb lс hc 1. Доказате

Вычисление площади педального треугольника
Вычисление площади педального треугольника. Решение. Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1 медальны

Свойства педального треугольника
Свойства педального треугольника. Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны ax, by, cz, где R ради

Теоремы о педальном треугольнике
Теоремы о педальном треугольнике. Теорема1. Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры la, lb, lс, соответственно на стороны a, b, c треугольника, то laha lbhb lс hc 1. Доказате

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги