Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла. В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции. Теорема 1. Если измеримая функция fx на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a fx b, то a mE b mE. Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим A a B b, то окажется, что A fx B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент А, В. Но еслиA yk B, то, очевидно, или, что то же самое, A mE s B mE, откуда и в пределе mE mE. В силу произвольности числа n, теорема доказана. Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий. Следствие 1. Если функция fx постоянна на измеримом множестве Е и fx с, то c mE. Следствие 2. Если функция fx не отрицательна не положительна, то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ 0, то для любой ограниченной функции fx, заданной на множестве Е, будет 0. Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция fx. Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E Ek 0, k k, то Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е 0. Если на множестве Е A fx B и мы, раздробив сегмент А, В точками у0, y1 уn, составим множества ek Eyk f yk1, ek E yk f yk1, ek E yk f yk1, то, очевидно, будем иметь ek ek ek ek ek 0, откуда н в пределе, при 0, Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда E . В этом случае mE, так что при n будет 0. Заметив это, положим Rn. Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то. В силу теоремы о среднем A mRn B mRn, а в силу мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что 0. Но это и означает, что Из этой теоремы вытекает ряд следствий. Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции fx и gx, заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то. Действительно, если А Еf g, B Ef g, то mA 0 и 0. На множестве же В обе функции тождественны и. Остается сложить это равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю. Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если fx задана на сегменте -1, 1, так 1 при x 0, fx -1 при x 0, то -1 1 0, хотя функция fx и не эквивалентна нулю. Однако справедливо Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции fx равен нулю fx 0, то эта функция эквивалентна нулю. В самом деле, легко видеть, что Ef0 . Если бы fx не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что m 0. Полагая A , B B - A, мы имели бы, что , 0, и, складывая эти неравенства, мы получили бы, что противоречит условию. Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции fx и Fx, то. Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция fx и с есть конечная постоянная, то. Следствие.

Если fx и Fх измеримы и ограничены на множестве Е, то Теорема 5. Пусть fx и Fх измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если fx Fx, то. Действительно, функция Fx fx не отрицательна, так что - 0. Теорема 6. Если функция fx измерима и ограничена на измеримом множестве E, то 4. Предельный переход под знаком интеграла Здесь мы рассмотрим следующий вопрос пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций f1x, f2x, f3x fnx, которая в каком-нибудь смысле везде, почти везде, по мере сходится к измеримой ограниченной функции Fx. Спрашивается, будет ли справедливо соотношение 1 Если 1 верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fnx определены в сегменте 0, 1 следующим образом n при x, fnx 0 при x, то при всяком x 0, 1 будет nx 0, но 1, и этот интеграл не стремится к нулю. Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fnx, чтобы равенство 1 все же имело место. Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.

Теорема А. Лебег. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1x, f2x, f3x, измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции Fх fnx Fx. Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х K, то 1 Доказательство.

Прежде всего заметим, что почти для всех х Е будет K. 2 В самом деле, из последовательности fnx можно на основании теоремы Рисса извлечь частичную последовательность x, которая сходится к Fx почти везде.

Во всех точках, где x Fx, можно перейти к пределу в неравенстве K, что и приводит к 2. Пусть теперь есть положительное число. Положим, An E , Bn E . Тогда. В силу неравенства, почти для всех х из множества An будет 2K, так что по теореме о среднем 2K mAn 3 то обстоятельство, что неравенство 2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно.

Можно, например, функцию на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю тогда неравенство 3 будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то 3 верно и без такого изменения. С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем, mBn mE. Сопоставляя это с 3, находим, что 2K mAn mE. 4 Заметив это, возьмем произвольное 0 и найдем столь малое 0, что mE . Фиксировав это, мы, на основании самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при n mAn 0 и, стало быть, для n N окажется 2K mAn. Для этих n неравенство 4 примет вид, что и доказывает теорему.

Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство K выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним. Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда fnx Fx почти везде и тем более везде. 5.