Сравнение интегралов Римана и Лебега

Сравнение интегралов Римана и Лебега. Пусть на сегменте а, b задана не обязательно конечная функция fх. Пусть x0 a, b и 0. Обозначим через mx0 и Мх0 соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции fx на интервале х0 x0 mx0 inffx, Mx0 supfx х0 - x x0 . Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала х0 x0 , которые лежат также и на сегменте а, b. Очевидно, mx0 fx0 Mx0. Если уменьшается, то mx0 не убывает, a Mx0 не возрастает.

Поэтому существуют определенные пределы mx0 mx0, Mx0 Mx0, причем, очевидно, mx0 mx0 fx0 Mx0 Mx0. Определение.

Функции тх и Мх называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции fx. Теорема 1 Р. Бэр. Пусть функция fх конечна в точке х0. Для того чтобы fx была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было mx0 Mx0. Доказательство. Допустим, что функция fх непрерывна в точке x0. Взяв произвольное 0, найдем такое 0, что как только, так сейчас же. Иначе говоря, для всех х х0 x0 будет fx0 - fx fx0 . Но отсюда следует, что fx0 - mx0 Mx0 fx0 , а стало быть, и тем более fx0 - mx0 Mx0 fx0 , откуда, ввиду произвольности, и вытекает. Итак, необходимость условия доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что выполнено. Тогда, очевидно, mx0 Mx0 fx0 и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно. Возьмем произвольное 0 и найдем столь малое 0, что mx0 - mx0 mx0, Mx0 Mx0 Mx0 . Эти неравенства означают, что fx0 - mx0, Mx0 fx0 . Если теперь x х0 x0 , то fx лежит между mx0 и Mx0, так что fx0 - fx fx0 . Иначе говоря, из того, что вытекает, что, т. е. функция fx непрерывна в точке х0. Основная лемма.

Рассмотрим последовательность дроблений сегмента а, b a b a b причем при i i max - 0. Пусть есть точная нижняя граница значений функции fx на сегменте Введем функцию ix, полагая ix при x, ix 0 при x Если х0 не совпадает ни с одной точкой I 1, 2, 3, k 0, 1, 2 ni, то ix0 mx0. Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через, тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то x0 и, следовательно, при достаточно малых 0 будет х0 x0 откуда следует, что mx0 или, что то же самое, что ix0 mx0. Устремив к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i ix0 mx0. Этим самым лемма уже доказана для случая тх0 . Пусть тх0 и пусть h mx0. Тогда найдется такое 0, что mx0 h. Фиксировав это, найдем столь большое i0, что при i i0 будет, х0 x0 , где, как и выше есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i0 следует из условия i 0. Для таких i будет mx0 h, или, что то же самое, ix0 h. Итак, для всякого h mx0 найдется такое i0, что при i i0 h ix0 mx0, а это и значит, что ix0 mx0. Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра тх и Мх измеримы.

В самом деле, множество точек деления счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что ix mx почти везде. Но ix измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция тx. Для верхней функции Бэра Мх рассуждение аналогично. Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция fx ограничена, то L L . Действительно, если K, то, очевидно, K, K, откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы L, после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что L si, где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i si L . Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра Si L . Но в таком случае Si - si L . С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция fx была интегрируема R, необходимо и достаточно, чтобы было Si si 0. Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости R функции fx необходимо и достаточно, чтобы было L 0. 1 Условие 1 во всяком случае выполнено, если разность Мх - тх эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из 1 следует, что тх Мх. 2 Итак, интегрируемость R ограниченной функции fx равносильна соотношению 2. Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 А. Лебег. Для того чтобы ограниченная функция fx была интегрируема R,необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости R. В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми R могут быть только не очень разрывные функции.

Допустим теперь, что функция fx интегрируема R. Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет тх Мх. Но ведь тх fx Мх. Значит, почти везде fx mx, и fx, будучи эквивалентна измеримой функции тх, измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема L, то такова же и fx, т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций fx и тх следует, что L L . Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой R функции fx будет si R , где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами, si L , мы видим, что R L . Таким образом, имеет место Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая R, необходимо интегрируема и L, и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что функция Дирихле x равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках интегрируема L ибо она эквивалентна нулю, но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема R, так что теорема 3 не обратима. 6. Примеры 1 Вычислить интеграл Лебега от функции на интервале 1 2. Строим срезку N, fx N, fNx fx, fx N. N, x 1 Nx N - N L . 2 Суммируемы ли функции и на интервале 0 1. fx. Строим срезку N, x . 1 - 1 , 1 , значит функция fx суммируемой не является. fx. Строим срезку N, x 1 1 - 1 1 , значит функция fx суммируемой не является. 3 Суммируема ли функция fx на отрезке -1 1, где f0 0 x 0 0 , x 0 0 , x 0 , x 0 Строим срезку N , x. L . Строим срезку N , x. L , значит функция fx не является суммируемой на -1 1. 4 Суммируема ли функция fx на 1 3, где f2 1 x 2 0, x 2 0, x 2 1, x 2 , x 2 Строим срезку N, x 2 . L . Строим срезку N, x 2 L функция fx суммируема на 1 3. 7.