Основн елементи асимптотично теор критерю вдношення правдоподбност

Основн елементи асимптотично теор критерю вдношення правдоподбност. Розглянемо критерй вдношення правдоподбност для великих виброк.

Припустимо, що виконуються умови регулярност, як забезпечують снування, динсть асимптотичну нормальнсть оцнки максимально правдоподбност параметра. Розглянемо випадок просто нульово гпотези. Теорема 1. Нехай, потрбно переврити просту гпотезу H0 , де - фксована внутршня точка множини. Тод для великих виброк n при виконанн вказаних умов регулярност критерй вдношення правдоподбност задаться асимптотично критичною областю , 1 тобто при n. Покажемо, що в умовах теореми , 2 звдси виплива 1. Якщо справедлива гпотеза H0, то в силу спроможност оцнки максимально правдоподбност при великих n точка близька до, тому для можна записати розклад Тейлора вдносно точки, де. Звдси виплива, що . 3 Так як спроможна оцнка для, а друг похдн функц правдоподбност, за припущенням, неперервн по, тод за теоремою мамо. Змст теореми Нехай, випадков величини збгаються з ймоврнстю при n до деяких сталих вдповдно. Тод для будь-яко неперервно функц випадкова величина На основ закону великих чисел при n величина сходиться по ймоврност по розподлу до середнього. Таким чином, матриця граничних значень коефцнтв квадратично форми в 3 спвпада з нформацйною матрицею. Дальше виплива, що випадковий вектор ма в границ такий же розподл, що нормальний випадковий вектор. Таким чином, права частина 3 ма в границ такий же розподл, як квадратична форма. Але за теоремою, звдси слду спввдношення 2. Теорема Якщо n-вимрний вектор Y ма нормальний розподл N тод квадратична форма розподлена за законом. Приклад метод вдношення правдоподбност для полномального розподлу.

Нехай, проводяться незалежн випробування, в кожному з яких реалзуться одне з N значень, тобто спостергаться випадкова величина, яка прийма значення 1 N j, якщо реалзуться значення. Позначимо через вектор ймоврностей цих значень через вектор частот реалзацй вдповдних значень в n випробуваннях. Як вдомо, розподл вектора являться полномальним розподлом M n, p. Припустимо тепер, що ймоврност значень невдом треба переврити гпотезу H0 , де - заданий вектор, який задовольня умови. Альтернативна гпотеза ма вид H1 . Тут роль параметра вдгра вектор p, але так як на значення параметрв накладено обмеження, то бажано це обмеження вдкинути, виключивши, наприклад, таким чином, дальше припускамо так що Оцнками максимально правдоподбност для параметрв pi являються вдносн частоти реалзацй вдповдних наслдкв, тобто тому в даному випадку статистика вдношення правдоподбност ма такий вигляд Звдси 4 Запишемо рвняння для знаходження критично точки де p квантиль розподлу в даному випадку Гn2 Якщо справедлива гпотеза H0 p p0, то в границ при n ця статистика ма розподл тому при заданому рвн значущост критичну границю вибирають рвною Останню статистику називають статистикою х-квадрат Прсона.

Таким чином, для полномального розподлу метод вдношення правдоподбност метод асимптотично екввалентн.

З точки зору простоти обчислення статистика простша вд статистики задач 1. При n 4040 пдкидань монети отримали v1 2048 випадань герба v2 n v1 1992 випадань решки.

Перевримо, використовуючи критерй вдношення правдоподбност, чи не суперечать ц дан гпотез H0 про те, що монета була симетричною, тобто ймоврнсть випадання герба Розв язання У данй задач N 2 тод за формулою 4 отримамо Нехай рвень значущост, тод за таблицею розподлу див. Додаток 1 знайдемо Порвнямо отримане значення з табличним 0,776 3,84 Отже, робимо висновок про те, що задан дан не суперечать гпотез, тобто гпотеза H0 прийматься. 2. Спостергаються покази 200 навмання вибраних годинникв, виставлених на втринах годинникарв.

Нехай, номер промжку вд -то години до 1 0, 1 4, а vi кльксть годинникв, покази яких належать -ому промжку.

Результати спостережень отримали так i vi4134543932n 200 Переврити, чи не суперечать ц дан гпотез H0 про те, що покази годинникв рвномрно розподлен на нтервал 0,4. При якому рвн значущост гпотеза вдхиляться Розв язання У данй задач N 5 згдно гпотези H0 . Знайдемо значення статистики, використовуючи формулу 4 Нехай рвень значущост, тод за таблицею див. Додаток 1 знайдемо Порвнямо отримане значення з табличним 3,564 9,49 Отже, задан дан при не суперечать гпотез, звдси гпотеза H0 прийматься.

Але при дана гпотеза вдхиляться, бо див. Додаток 1. 3. При n 4000 незалежних випробувань под здйснилися 1905, 1015 1080 раз вдповдно. Переврити, чи не суперечать дан при гпотез H0 де Розв язання У задач N 3, тод значення статистики буде таким Знайдемо табличне значення див. Додаток 1 порвнямо з отриманим 11,04 9,21, звдси виплива, що дан суперечать гпотез.

Отже, при гпотеза вдхиляться.

V. опис програми Програма написана на мов Delphi див. Додаток 2. Пдключен так бблотеки Windows, Messages, SysUtils, Math, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Grids, Buttons. Програма мстить так функц та процедури Fx logGamma Gamma simpf integral Hi2 GenInit CheckBox1Click Button1Click Button2Click BitBtn1Click Button3Click Функця Fx присвою змннй пднтегральний вираз з рвняння критично точки.

Функця logGamma пошук наближення функц через Функця Gamma знаходження з. Функця simpf формула Смпсона наближеного знаходження нтегралу Функця integral знаходження нтегралу вд 0t з використанням формули Смпсона. Функця Hi2 знаходження критично точки при заданому квантилю р.