Содержание. 1. Введение I. Краткий исторический очерк II. Поле алгебраических чисел 1. Понятие числового поля 2. Алгебраическое число 3. Поле алгебраических чисел III. Рациональные приближения алгебраических чисел 3.1 Теорема Лиувиля 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля 16 10. Заключение 18 Курсовая по алгебре Тема Алгебраические числа Введение. Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов fxxna1xn-1an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел.
Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I. Краткий исторический очерк. Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса 1777-1855. Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида abi, где a и b обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера 1810-1893 и Дирихле 1805-1859 и развита затем Кронекером 1823-1891, Дедекиндом 1831-1916 и Е.И. Золотаревым 1847-1878. Работы Лиувилля 1809-1882 и Эрмита 1822-1901 явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1
Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Лю... Действительно, рациональное число z p, qN очевидно является корнем ура... Пусть, где k выбрано настолько большим, что и kn, тогда Поскольку для ... Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррационал... fx неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следователь...
Заключение. Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.
Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел.
Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии. Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.