Понятие числового поля. Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.
Определение 1 Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. Пример 1 N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. a, bN ab N. В отношении умножения множество N так же замкнуто.
Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно 5, 7 N, но 5-7-2 N, 3, 2N, но 321,5 N 2 Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. 3 Множество чисел вида 2к, кN, замкнуто относительно умножения и деления. 2к2l2kl 2к2l2k-l В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.
Рассмотрим один их классов, называемых полем. Определение 2 Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. Последнее означает, что для любых a, b M, должно иметь место ab, a-b, ab M. Так же для любого aM и любого b0 из М, должно выполняться abM. Пример Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются 1 поле всех рациональных чисел 2 поле всех вещественных чисел 3 поле всех комплексных чисел.
Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления. Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2.2 Определение алгебраического числа. Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению.
С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел. Определение 3 Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами anxnan-1xn-1a1xa00 a0, a1, ,anZ an0, т.е. выполняется anznan-1zn-1a1za00 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, ,an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.
К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z p, qN очевидно является корнем уравнения qx-p0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом.
Действительно, число z p, qN является корнем уравнения qxn-p0. Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше. Пример 1 Чиcло z является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим z22 3. Отсюда z2-5 . Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим z4-10z22524. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения x4-10x210 2 Всякое число zabi, у которого компоненты a и b рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это p, q, N. Из равенства, получаем. Отсюда, возводя в квадрат, получим. Следовательно, я является корнем уравнения все коэффициенты которого целые числа.
В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из fx0 следует fzx0, где в качестве x можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами.
Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. Определение 4 Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z. Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z алгебраическое число степени n. Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени.
Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.
Пример 1 - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-20 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.
Определение 5 Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена fxxnb1xn-1 bn n1 1 с рациональными коэффициентами, то fx называется минимальным многочленом для z. Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z. Если вместо многочлена 1 взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен 1 может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. Пример 1 Минимальным многочленом для является x3-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.
Теорема 1 Если fx минимальный многочлен алгебраического числа z и fx многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что Fz0, то fx делитель Fx, т.е. Fxfxgx, где gx также многочлен с рациональными коэффициентами.
Доказательство Согласно известной теореме алгебры Fx можно представить в виде Fxfxgxrx где gx и кч многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень rx меньше степени fx. Поскольку Fx0 и fz0, то придавая x значение z, получаем rz0 z корень многочлена rx с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если rx тождественно равен нулю, а значит Fxfxgx. Теорема доказана. Теорема 2 Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.
Доказательство Пусть fx минимальный многочлен для z. Предположим, что fx приводим над полем рациональных чисел, т.е что fxxx, xx многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n. Из равенства xxfx0 следует, что из двух чисел x и x, по крайней мере одно равно нулю. Пусть например x0, тогда z корень тождественно не равного нулю многочлена x с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у fx. А это противоречит тому, что fx минимальный многочлен для z. Предположение, что fx приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. fx неприводим над этим полем.
Теорема доказана. Теорема 3 Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена Fx с рациональными коэффициентами степени n, то z алгебраическое число степени n. Доказательство Обозначим минимальный многочлен для z через fx. Согласно теоремы 1 Fxfxgx где gx многочлен с рациональными коэффициентами.
Поскольку Fx неприводим над полем рациональных чисел и fx отлично от постоянного, то gxc, где c рационально. Fxcfx, т.е. z алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана. Пример Пусть p простое число. при любом простом целом a a 1, не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена. xp-a0 Если z алгебраическое число степени n и fx минимальный многочлен для z, то все корни z1, z2, zn уравнения fx0, отличные от z, называют сопряженным с z. Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. zz1. 2.3. Поле алгебраических чисел Теорема 4 Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел и для частного при 0 являются алгебраическими числами.
Доказательство 1 Пусть - корень многочлена fx степени n с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, ,n, и - корень многочлена x степени m с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, m 1. Рассмотрим многочлен Fx x-ii x-1-1 x-1-2 x-1-m x-2-1 x-2-2 x-2-m x-n-1 x-n-2 x-n-m 2 Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин 1, 2, ,n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится.
Это значит, что Fx симметрический многочлен по отношению 1, 2, m. В целом Fx симметрический многочлен от двух систем аргументов 1, 2, ,n и 1, 2, m. Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена Fx могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от 1, 2, ,n и 1, 2, m, т.е. через целые коэффициенты, fx и x. Это значит, что коэффициенты Fx рациональны, и, следовательно, число 11, являющегося, как это непосредственно видно из формулы 2, корнем Fx, есть алгебраическое число. 2 Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел и есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена 2, рассмотреть многочлен Fx x-ii 3 Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней 11. 3 Пусть - корень многочлена xb0xn b1xn-1 bn, bi целые числа.
Тогда - является корнем многочлена с целыми коэффициентами. -x-1nb0xn-1n-1b1xn-1 bn, а при 0 корень многочлена xn b0b1x bnxn. Таким образом, вместе с алгебраическими числами являются - и. Разность может быть представлена в виде т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел.
При 0 частное, являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.
Если степени алгебраических чисел и равны m и n, то, взяв в качестве fx и x соответствующие минимальные многочлены будем в 2 и 3 иметь многочлены степени mn, и алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены x, -x, и xn одинаковой степени, а, следовательно - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и - и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.
Пример 1 и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если, то 25 , 24-10210, т.е. корень многочлена fxx4-10x21 с целыми коэффициентами, и fxx- x- x x 4 Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители fx должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства 4. Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. fx неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3 алгебраическое число 4-й степени. 2 и, как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение - алгебраическое число 3-й степени.
III. Рациональные приближения алгебраических чисел. 3.1. Теорема Лиувилля. Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.
Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c 0, такая, что для любой рациональной дроби, отличной от, будет выполняться неравенство 5 Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c 0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство 6 В 1844 г французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема Теорема 5 Для любого действительного алгебраического числа степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от, такое, что для всех рациональных чисел будет иметь место неравенство 7 Доказательство Пусть fxA0xn A1xn-1An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является. В качестве fx можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.
Согласно теореме Безу, имеем fxx-gx, 8 где gx многочлен с действительными коэффициентами.
Возьмем произвольное 0. gx - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте т.е. существует положительное число M, такое, что gxM, для всех x из этого сегмента. Обозначим через cmin, так, что и. Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности 1 лежит вне сегмента тогда 2 удовлетворяет неравенствам тогда g M и, подставляя в 8 вместо x значение, получаем 9 Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен fx степени n2 не имеет рациональных корней, а при n1 не имеет корней, отличных от, так что f Поскольку числитель - целое неотрицательное, отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то 10. Сравнивая неравенства 9 и 10 получаем, так что и в этом случае имеем. Теорема доказана.
Пример Пусть z неквадратное целое число. Найти c 0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство корень многочлена x-В. Деля x2-D на x находим gxx. При - x имеем, т.е. M . В качестве c берем, при этом выгодней всего взять так, что 2 -10, т.е При таком получаем, так что при любых целых a и b имеем . 3.2. Трансцендентные числа Лиувилля.
Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических. Определение 6 Любое неалгебраическое число называется трансцендентным. Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем.
Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел. Теорема 6 Пусть действительное число. Если для любого натурального n1 и любого действительного c 0 существует хотя бы одна рациональная дробь, такая, что 11, то трансцендентное число. Доказательство Если бы было алгебраическим, то нашлось бы теорема 5 целое положительное n и действительное c 0 такие, что для любой дроби было бы, а это противоречит тому, что имеет место 11. Предположение, что алгебраическое число, т.е. трансцендентное число.
Теорема доказана. Числа, для которых при любых n1 и c 0 неравенство 11 имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля. Пример 1 a трансцендентное число. Возьмем произвольные действительные n1 и c 0. Пусть, где k выбрано настолько большим, что и kn, тогда Поскольку для произвольных n1 и c 0 можно найти дробь такую, что, то трансцендентное число.