рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

Исследование движений плоскости и некоторых их свойств - раздел Математика, Исследование Движений Плоскости И Некоторых Их Свойств Cодержание 1. Из Истор...

Исследование движений плоскости и некоторых их свойств Cодержание 1. Из истории развития теории движений. 2. Определение и свойства движений. 3. Конгруэнтность фигур. 4. Виды движений. 1. Параллельный перенос. 2. Поворот. 3. Симметрия относительно прямой. 4. Скользящая симметрия. 5. Исследование особых свойств осевой симметрии. 6. Исследование возможности существования других видов движений. 7. Теорема подвижности. Два рода движений. 8. Классификация движений. Теорема Шаля. 9. Движения как группа геометрических преобразований. 10. Применение движений в решении задач. Литература. 1. История развития теории движений. Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский 625-547 г. до н.э Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку.

До Фалеса доказательств просто не существовало Каким же образом проводил Фалес свои доказательства Для этой цели он использовал движения. Движение это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками.

Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Именно таким путм Фалес доказал ряд первых теорем геометрии.

Если плоскость повернуть как тврдое целое вокруг некоторой точки О на 180о, луч ОА перейдт в его продолжение ОА . При таком повороте его ещ называют центральной симметрией с центром О каждая точка А перемещается в такую точку А , что О является серединой отрезка АА рис.1. Рис.1 Рис.2 Пусть О общая вершина вертикальных углов АОВ и А ОВ . Но тогда ясно, что при повороте на 180о стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся.

Значит, вертикальные углы равны рис.2. Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине рис.3. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам. Рис.3 Рис.4 Применял Фалес и ещ одно движение параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определнном направлении на одно и то же расстояние.

С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки рис.4. Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид, автор Начал книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 г. до н.э. Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида при доказательстве признаков равенства треугольников Наложим один треугольник на другой таким-то образом. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть совмещены всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как тврдое целое, можно точно наложить е на вторую фигуру.

Для Евклида движение не было ещ математическим понятием. Впервые изложенная им в Началах система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии.

В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создатся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери 1598-1647 издат сочинение Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или следов, которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично датся представление о телах они образуются при движении плоскостей.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля 1793-1880. В 1837 г. он выпускает труд Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. В процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

Доказательство теоремы Шаля полностью проводится в п.8 данного реферата. Важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теории движений перемещений. К этому времени назрела необходимость дать классификацию всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн 1849-1925. В 1872 г вступая в должность профессора Эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований.

Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название Эрлангенская программа. По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы.

Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением такие фигуры называются конгруэнтными, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделены самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид Гильберт 1862-1943. Его система из двадцати аксиом, разделнных на пять групп, была впервые опубликована в 1899 г в книге Основания геометрии.

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур 1856-1932, следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трх аксиом движения.

Виды и некоторые важные свойства движений подробно рассматриваются в данном реферате, коротко же их можно выразить следующим образом движения образуют группу, которая задат и определяет евклидову геометрию. 2.

Определение и свойства движений

Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Замечание понятие движения в геометрии связано с обычным представление... Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащи... Введм обозначения lА1 цlА, А1 цА, lВ1 цlВ, В1 цА. Теорема доказана.

Конгруэнтность фигур

Например, конгруэнтными являются любые лучи, любые прямые, любые полуп... Пусть X, Y, Z произвольные фигуры. Тогда выполнены соотношения 1 X X 2 если X Y, то Y X 3 если X Y и Y Z ... Но тогда композиция ц g тоже движение переводит M в P, а значит, фигур... При переходе фигуры к конгруэнтной ей при движении, все геометрические...

Виды движений

Определение. Преобразование у фигуры F в фигуру F , при котором каждая е точка X пе... Теорема 4.3.1. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Примем данную прямую у за ось декартовой системы координат рис.6.

Исследование особых свойств осевой симметрии

Исследование особых свойств осевой симметрии. Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой m перейдт в... в такую точку М1, что ММ1 а0 2d. Это означает, что результатом композиции двух осевых симметрий с парал... Кроме того, направление поворота вокруг точки О от ОМ к ОМ1 такое же, ...

Исследование возможности существования других видов движений

Оно устроено просто, и могут представиться лишь следующие четыре возмо... Попробуем решить поставленный вопрос при помощи исследований каждого и... По определению движения М1АМА рис.9. Поскольку при этой симметрии точка М переходит в М1, то неизвестное дв... Поскольку серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 не проходит через точ...

Теорема подвижности. Два рода движений

Таким образом, движение оставляет на месте флаг F, т.е. является тождественным отображением ш-1 ц е. Кроме того, множество всех неподвижных точек произвольного движения од... Напомним, что если движение не оставляет ни одной неподвижной точки, т... Пусть ц - движение второго рода, не имеющее неподвижных точек. Тогда ц...

Движения как группа геометрических преобразований

композиция двух осевых симметрий не осевая симметрия. К таким группам относятся - группа всех движений плоскости они сохраня... Группы стали рабочим инструментом и в таких. Можно даже определить евклидову геометрию как теорию, изучающую свойст... Феликс Клейн поместил понятие группы в фундамент геометрии. Но оно глу...

приложениях математики, как теория кодирования и кристаллография. А некоторых разделов современной теоретической физики, например теории элементарных частиц, просто не существовало бы без теории групп.

Обобщая и подытоживая вс, что изложено выше в данном реферате, можно с уверенностью констатировать движения плоскости, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние, составляют наиболее важную группу среди всех геометрических преобразований - группу движений плоскости. 10. Применение движений в решении задач. 10.1. Метод параллельного переноса. Применение каждого преобразования имеет свои особенности. Метод параллельного переноса позволяет сблизить удалнные друг от друга части фигуры и тем упростить задачу.

Рассмотрим, в качестве примера, следующую задачу. Задача. Где следует построить мост через реку, разделяющую пункты А и В, чтобы путь l AP PQ QB был кратчайшим Берега реки считаются параллельными прямыми a и b, а мост, естественно, строится перпендикулярно берегам реки рис.14. Рис.14 Рис.15 Рис.16 Решение. Заметим, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки P на прямой a, а вектор v PQ определяется лишь прямыми a и b. Поэтому надо найти такое положение точки P, при котором сумма AP QB будет наименьшей.

Пока отрезки AP и QB удалены друг от друга. Переведм отрезок AP в положение A Q параллельным переносом на вектор v. Получим ломаную A QB. И теперь становится ясно, что длина ломаной A QB, а значит и длина l, будет наименьшей в том случае, когда точки A , Q, B лежат на одной прямой. Итак, Q точка пересечения отрезка A B с прямой b, а P проекция Q на a рис.15, рис.16. 10.2. Метод поворота. Рассмотрим, в качестве примера использования метода поворота, следующую задачу.

Задача. В данном треугольнике ABC найти такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая. Решение. Возьмм в треугольнике ABC любую точку X рис.17 и рассмотрим сумму l XA XB XC. Рис.17 Рис.18 Рис.19 Чтобы искать наименьшее значение суммы, надо построить ломаную из отрезков XA, XB, XC. Для этого повернм треугольник ABX вокруг точки А в сторону от треугольника ABC на 60о. Получим AB X ABX рис.18. Рассмотрим ломаную B X XC. В ней B X BX и X XXA т.к. AXX равносторонний.

Следовательно, B X X X XC l. И становится ясно, что l достигает наименьшего значения тогда, когда точки X и X лежат на отрезке B C. Заметим, что положение точки B определено она вершина равностороннего треугольника ABB . В этом случае углы AX B и AXC внешние углы равностороннего треугольника AXX . Поэтому LAXC LAX B 120o. А тогда и LBXC 120o. Итак. l достигает наименьшего значения для такой точки X, из которой все стороны треугольника видны под равными углами.

Эту точку Х легко построить на отрезке B C, применив, например, параллельный перенос рис.19. Замечание. Это решение пригодно лишь для треугольника, в котором все углы меньше 120о. Добавим, что такую точку в треугольнике называют точкой Ферма, или чаще - точкой Торричелли в честь итальянского математика начала XYII в. Эванджелиста Торричелли. 10.3. Метод осевой симметрии. Рассмотрим, в качестве примера использования метода осевой симметрии, следующую задачу. Задача.

В остроугольном треугольнике ABC определить кратчайший путь, ведущий из некоторой точки Р стороны АВ к стороне АС, отсюда к стороне ВС, а затем обратно в точку Р. Решение. Пусть Р - зеркальное отражение точки Р относительно стороны АС, а точка Р относительно стороны ВС рис.20. Тогда искомый путь равен отрезку Р Р . Этот отрезок пересекает стороны треугольника в точках Q и R, следовательно, кратчайшим путм является контур треугольника PQR. Рис.20 Тем самым мы построили треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник и удовлетворяющий тому, что одна из его вершин совпадает с данной точкой Р. Периметр вписанного таким образом треугольника зависит, естественно, от выбора точки Р. Если мы теперь хотим определить положение точки Р, при котором треугольник PQR имеет наименьший периметр, то следует принять во внимание, что стороны СР и СР треугольника Р СР являются зеркальными образами отрезка СР, т.е. равны между собой.

Отсюда следует также, что LР СР вдвое больше, чем LАВС, т.е. не зависит от выбора точки Р. Следовательно, наименьший периметр имеет тот из треугольников Р СР , который имеет наименьшее ребро, т.е. для которого соответствующий отрезок СР имеет наименьшую длину.

Таким образом, искомая точка Р является основанием перпендикуляра, опущенного из точки С на АВ. Литература 1. Александров А.Л. и др. Геометрия Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учрежденийМ. Просвещение, 1995 г. 2. Александров А.Л. и др. Геометрия для 10-11 классов Учеб.пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математикиМ. Просвещение, 1995 г. 3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учрежденийМ 1999 г. 4. Атанасян Л.С. и др. Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. М. Просвещение, 1997 г. 5. Каазик Ю.Я. Математический словарь.

Таллин Валгус. 1985 г. 6. Погорелов А.В. Геометрия Учеб. Для 7-11 кл. сред. шк. М. Просвещение, 1993 г. 7. Расин В.В. Лекции по геометрии Аксиомы планиметрии. Преобразования плоскости. Учебное пособие.

Екатеринбург УрГУ, 2000 г. 8. Малая математическая энциклопедия. Академия наук Венгрии. Будапешт, 1976 г. 9. Математика. Большой энциклопедический словарь. Научное изд-во Большая российская энциклопедияМ 1998 г. 10. Энциклопедия для детей. Т.11. МатематикаМ. Аванта, 2000 г. 11. Энциклопедический словарь юного математикаМ. Педагогика,1989 г. 12. Материалы Internet httpwww.matk.rsu.rumexmatpostmetodg110g1 10.ru.htm.

– Конец работы –

Используемые теги: исследование, движений, плоскости, некоторых, свойств0.071

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекции по курсу: Биохимия Тема: ПЕПТИДЫ, БЕЛКИ: ИХ СТРОЕНИЕ, СВОЙСТВА, ЗНАЧЕНИЕ В ОРГАНИЗМЕ, МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕЛКОВ. 10
Федеральное агентство по образованию... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального...

Тип ячейки определяет строение и свойства кристалла в целом, а свойства каждого из этих кристаллов определяет свойства всего кристалла в целом
Кристаллическое строение металлов... Металлы Ме являются поликристаллическими веществами т е они состоят из... Кристаллическое состояние твердое состояние вещества...

Исследование некоторых физико-химических свойств протеиназы Penicillium wortmannii
Вещества белковой природы, способные каталитически ускорять химические реакции, называют ферментами. Роль ферментов в жизнедеятельности животных, растений и микроорганизмов… Биологические катализаторы по ряду признаков резко отличаются от неорганических катализаторов.

Кинематика точки, сложное движение точки, движение точки вокруг неподвижной оси
Порядок Рассмотреть относительное движение точки и определить относительную скорость 2. Рассмотреть переносное вращение и определить переносную…

Некоторые результаты исследования горных лиственничных лесов бассейна Верхней Лемвы в 1999-2000 гг.
Единственные растения уживающиеся здесь накипные и корковые лишайники. Примыкающая к Народо-Итьинскому хребту волнисто-увалистая полоса и… Особенно это касается увалистой полосы, где и расположены практически все леса верхней Лемвы. К труднодоступности,…

Лекция №15 Исследование движения машинного агрегата
Уравнение движения машины... Для составления уравнения движения машины может быть использована теорема об... dT dA...

Лекция СОЗДАНИЕ ТЕОРИИ: ПОНЯТИЯ И ГИПОТЕЗЫ В ПОЛИТОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 1. Проблема исследования
План... Проблема исследования... Что же такое теория Построение теории Компоненты теории...

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ... ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ...

Аксиоматика и некоторые общие свойства множества
Действительных чисел Определение множества действительных чисел I Аксиомы сложения... Важнейшие классы действительных чисел... Множество натуральных чисел...

Определение некоторых размеров шарнирно-стержневого механизма по заданным условиям движения отдельных его звеньев или условиям передачи сил
По учебному плану курсовой проект по теории механизмов и машин является первым... определение некоторых размеров шарнирно стержневого механизма по заданным условиям движения отдельных его звеньев...

0.055
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам