Определение и свойства движений

Определение и свойства движений. При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается новая фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X и Y другой фигуры так, что XY X Y . Определение.

Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры. Замечание понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное образ положения фигуры. Этим геометрический подход отличается от физического.

При движении разным точкам соответствуют разные образы, причм каждой точке Х одной фигуры ставится в соответствие единственная точка Х другой фигуры. Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным или биективным. Применительно к движениям вместо термина равенство фигур прямых, отрезков, плоскостей и т.д. употребляется термин конгруэнтность и используется символ. Для обозначения принадлежности используется символ. С учтом сказанного можно дать более корректное определение движению Движение это биективное преобразование ц плоскости р, при котором для любых различных точек X, Y р выполнено соотношение XY цX цY. Результат последовательного выполнения двух движений называется композицией.

Если сначала выполняется движение ц, а следом за ним движение ш, то композиция этих движений обозначается через ш ц. Самым простым примером движения является тождественное отображение принято обозначать - е, при котором каждой точке Х, принадлежащей плоскости, сопоставляется сама эта точка, т.е. еX X. Рассмотрим несколько важных свойств движений.

Cвойство 1. Лемма 2.1. Композиция ц ш двух движений ш, ц является движением. Доказательство. Пусть фигура F переводится движением ш в фигуру F , а фигура F переводится движением ц в фигуру F . Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X фигуры F , а при втором движении точка X фигуры F переходит в точку X фигуры F . Тогда преобразование фигуры F в фигуру F , при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X фигуры F , сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ он и ставится в соответствие исходному X шX шц X ш ц X Cвойство 2. Лемма 2.2. Если ц движение, то преобразование ц-1 также является движением. Доказательство. Пусть преобразование фигуры F в фигуру F переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F . Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X фигуры F . Преобразование фигуры F в фигуру F, при котором точка X переходит в точку X, называется преобразованием, обратным данному.

Для каждого движения ц можно определить обратное ему движение, которое обозначается ц-1. Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование ц-1 удовлетворяет равенствам f f-1 f-1 f е, где е тождественное отображение. Свойство 3 ассоциативность композиций. Лемма 2.3. Пусть ц1, ц2, ц3 произвольные движения. Тогда ц1ц2 ц3 ц1ц2ц3. Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень ц с натуральным показателем n. Положим ц1 ц и цn1 цn ц, если n 1. Таким образом, движение цn получается путм n-кратного последовательного применения движения ц. Cвойство 4 сохранение прямолинейности.

Теорема 2.1. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если точки A, B, C, лежащие на одной прямой такие точки называют коллинеарными, переходят в точки A1, B1, C1, то эти точки также лежат на прямой если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1. Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. Если точки A1, B1, C1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A1B1C1. Поэтому A1C1 A1B1 B1C1. По определению движения следует, что AC AB BC. Однако по свойству измерения отрезков AC AB BC. Мы пришли к противоречию.

Значит, точка B1 лежит между точками A1 и C1. Допустим, что точка A1 лежит между точками B1, и C1. Тогда A1B1 A1C1 B1C1, и, следовательно, AB AC BC. Но это противоречит равенству AB BC AC. Таким образом, точка A1 не лежит между точками B1, и C1. Аналогично доказывается, что точка C1 не может лежать между точками A1 и B1. Т.к. из трх точек A1, B1, C1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.

Следствие. При движении прямая отображается на прямую, луч на луч, отрезок на отрезок, а треугольник на равный ему треугольник. Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через цХ - образ множества Х при движении ц, т.е. множество всех точек вида цх, где х Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства Пусть ц движение, А, В, С три различные коллинеарные точки.

Тогда точки цА, цВ, цС также коллинеарны. Если l прямая, то цl также прямая. Если множество Х является лучом отрезком, полуплоскостью, то множество цХ также является лучом отрезком, полуплоскостью. Свойство 5. Теорема 2. 2. При движении сохраняются углы между лучами. Доказательство. Пусть AB и AC два луча, исходящие, из точки A, не лежащие на одной прямой.

При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые лучи A1B1 и A1C1. Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства треугольников если три стороны одного треугольника соответственно равны трм сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1 A1C1, что и требовалось доказать. Можно дать более корректную формулировку данного свойства Образом произвольного угла при движении является угол, конгруэнтный данному.

Свойство 6. Предложение 2.1. Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей и одинаковую ориентированность флагов. Прежде, чем приступить к доказательству, напомним, что лучи lА и lВ называются сонаправленными одинаково ориентированными, обозначение lА lВ, если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом. Теперь необходимо определить понятие флага. Определение. Флаг F рl, lo это объединение полуплоскости рl и луча lo. Точка О начало флага, луч lo с началом в точке О древко флага, рl полуплоскость с границей l рис.5. Рис.5 Доказательство.

Пусть ц произвольное движение, lА lВ сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введм обозначения lА1 цlА, А1 цА, lВ1 цlВ, В1 цА. Если лучи lА и lВ лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что lА lВ , получаем цlА цlВ, т.е. lА1 lВ1 символом обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов.

Если же lА , lВ лежат на разных прямых, то пусть n AB.Тогда существует такая полуплоскость рn, что lА, lВ рn. Отсюда цlА,цlВ црn. Поскольку црn полуплоскость, причем ее граница содержит точки А1 и В1 , мы опять получаем, что lА , lВ сонаправлены. Применим теперь движение ц к одинаково ориентированным флагам F рl, lА, G рm, mB. Рассмотрим сначала случай, когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо 1 lА рm mА р l, либо 2 lА р m, mА рl. Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие 1. Тогда цlА црm, цmА цр l. Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов цF и цG.Если же прямые l, m совпадают, то либо F G, либо F G . Отсюда следует, что флаги цF и цG одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую AB. Понятно, что найдутся сонаправленные лучи nA и nB и полуплоскость рn такие, что флаг F1 рn, nA сонаправлен с F, а флаг G1 рn, nB, сонаправлен с G. Значит цF и цG одинаково ориентированные. Теорема доказана. 3.