Алгоритм оптимизации портфеля с применением кластерного анализа. Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на четыре основные стадии 1 Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры 2 Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии 3 Прогнозирование динамики выбранных факторов 4 Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги 5 Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого веса в инвестиционном портфеле для обеспечения максимизации доходности.
Теперь можно рассмотреть эти стадии подробнее 1. Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры. Эта стадия начинается с формирования таблицы эвклидовых расстояний между имеющимися ценными бумагами Таблица 1 Таблица эвклидовых расстояний Ценные бумагиS1S2SjSNS1-r1,2r1,jr1,NS2 -r2,jr2,NSi ri, jri,NSN -Расстояния вычисляются по формуле 2,стр.223 Две ценные бумаги с наименьшим расстоянием объединяются в кластер, доходность которого вычисляется как средняя арифметическая доходностей этих ценных бумаг, после чего процедура расчета повторяется.
Процесс объединения в кластеры прекращается, когда минимальное расстояние между группами превысит критическое значение 2,стр.224 В результате описанной процедуры, вместо случайного множества ценных бумаг, мы получаем набор упорядоченных кластеров, объединенных на основе общих тенденций в динамике доходности.
При этом достигаются сразу две важные цели во-первых, значительно сокращается количество переменных, что в заметной степени упрощает вычисления, а во-вторых, уменьшается доля воздействия случайных факторов, которые могут в отдельные моменты коррелировать с доходностью отдельных ценных бумаг. В рамках кластера за счет произведенной диверсификации вероятность случайных совпадений уменьшается во много раз, что дает возможность гораздо более ясно определить факторы, реально воздействующие на доходность. 2. Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов.
Построение уравнения регрессии. Для того, чтобы вычислить величину влияния каждого фактора на соответствующий кластер ценных бумаг, представим доходность по кластерам в следующем виде 2,стр.231 где Fi коэффициент фактора Xi в уравнении множественной регрессии, Et ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно не менее чем в пять раз превышать количество факторов k. Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов последовательной детерминации.
Факторы отбираются последовательно, а выбор определяется путем максимизации коэффициента 2,стр.232 Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной.
Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F1, F2 Fk рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза 2,стр.236 Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее время существует ряд программных пакетов, позволяющих производить данные расчеты с высокой скоростью и за короткое время. Исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка, выявило значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины ВВП и индекса CPI. 3. Прогнозирование динамики выбранных факторов Результатом вышеуказанных вычислений является получение формул множественной регрессии для каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.
Четвертый этап будет посвящен переходу от изучения общих кластерных тенденций к расчету индивидуальных уравнений регрессии для каждой из имеющихся ценных бумаг. 4. Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги.
В большинстве моделей, опирающихся на CAPM, для ценных бумаг рассчитывается бета-коэффициент, отражающий взаимосвязь между динамикой доходности изучаемой ценной бумаги и существующими рыночными тенденциями.
Простая линейная регрессия по отношению к рыночной динамике может оказаться слишком неточной, так как не позволяет учитывать специфические факторы, оказывающие на данную ценную бумагу влияние весомее, чем на фондовый рынок в целом. Поэтому для более подробного изучения прибегают к более эффективным средствам, в частности к факторному анализу.
Без сопоставления с существующими тенденциями велик риск усиления влияния случайных факторов. Таким образом, для получения достоверного результата методика анализа рынка ценных бумаг должна совмещать оба вышеописанных подхода. Достаточно высокая эффективность прогнозирования, основанная на использовании бета-коэффициента показывает, что между отдельными ценными бумагами и состоянием фондового рынка в целом наблюдается существенная зависимость, которую можно использовать для проведения оценки будущей доходности.
При этом корреляция доходности ценных бумаг со средней доходностью по кластеру значительно выше, чем с рынком в целом. Поэтому в данной методике бета-коэффициент каждой отдельной ценной бумаги рассчитывается, опираясь на не рыночный индекс, а относительно кластера 2,стр.240 где ric коэффициент корреляции между доходностью ценной бумаги и средней доходностью кластера, к которому она принадлежит, i и с соответственно их среднеквадратические отклонения.
После расчета бета-коэффициента доходность каждой из исследуемых ценных бумаг можно будет выразить при помощи следующего уравнения регрессии 2,стр.245 а ожидаемая в следующем периоде доходность будет равна 2,стр.249 При этом коэффициент неопределенности для каждой ценной бумаги равняется 2,стр.251 а величина риска - 2,стр.253 5.Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого весам в инвестиционном портфеле для максимизации доходности.
После всех проведенных преобразований получена для каждой ценной бумаги величину ожидаемой доходности и оценку имеющегося риска. Теперь задача сводится к тому, чтобы определить долевой вес этих ценных бумаг в инвестиционном портфеле с целью максимизации прибыли при заданном уровне риска п. Как известно, множество эффективных портфелей расположено на так называемой эффективной границе, не ниже точки минимизации риска. Следовательно, в случае наличия определенности относительно желаемого уровня риска оптимальная точка для заданного набора ценных бумаг может быть определена однозначно Основываясь на данных, полученных на трех предыдущих этапах, исходные формулы выглядят следующим образом 2,стр.260 Как уже отмечалось, в случае необходимости добавляется условие не отрицательности долей mi. Вывод полученная задача легко решается как при помощи стандартно используемых вычислительных методов, так и большинством математических и экономических программных пакетов MathCAD, SAS, Solver for MS Excel и т.д 4.