Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z a ib называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.
Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z a ib, пишут jarg z или jarg aib. Для числа z0 аргумент не определяется.
Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что. Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно число z0 единственное число, которое определяется заданием только его модуля. С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определн единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно если j - некоторый аргумент числа z, то углы j2pk, тоже являются аргументами числа z. Из определения тригонометрических функций следует, что если jarg aib, то имеет место следующая система или 5 Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений а б в Решение а Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1 найдм модуль1-i. Заметим, что никакая точка большей окружности не приближена к меньшей на расстояние, равное, откуда и следует, что система корней не имеет. б Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 2 и 1. При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на другую окружность.
Эта точка и будет решением системы. в Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1. Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы. 7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
Запись комплексного числа z в виде a ib называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел.
Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z a ib, то есть r, jarg aib. Тогда из формулы 5 следует, что, и, значит Запись комплексного числа в виде называется е тригонометрической формой.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа aib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задатся условием а б в г д е Решение а Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалнными от начала координат, откуда чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны 1 построить множество точек, равноудалнных от начала координат на 2 2 сдвинуть его на 1 влево и на i вверх б Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -i чем к 2i, а эти точки указаны на рисунке. в Данное уравнение равносильно уравнению То есть эти числа будут удалены на расстояние г Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалнные на расстояние 1, на 1 вправо.
При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке. д Преобразуем первое условие То есть это будут точки удалнные от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим е Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалнные на расстояние 1, на 1 вправо.
При этом, учитывая другие условия, получим искомое множество точек.
Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения а б в Решение Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а, так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно . 8.