Кривые и поверхности второго порядка

ЭЛЛИПС. Эллипсом называется геометрическое место точек,для которых сумма расстояний от двух фик сированных точек плоскости, называе мыхфокусами, есть постоянная величина требуется,чтобы эта по стоянная была больше расстояния между фокусами.Фокусы эллипса при нято обозначать через F1 и F2.Пусть М произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М так же как и длины этих отрезков назы ваются фокальными радиусами точки М.По стоянную сумму фокаль ных ра диусов точки эллипса принято обозначать через 2а.Таким образом, для любой точки М эллипса имеем F1М F2М 2а.Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку сами F1, F2.Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим еекоординаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов r1 F1М, r2 F2М . Точка М будет нахо диться на данном эллипсе втом и только в том случае, когдаr1 r2 2а.Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выраже ниями через координаты х,у.Заметим, что так как F1 F2 2с и так как фокусы F1 и F2 распо ложены на оси Охсимметрично от носительно начала координат, то они имеют соответственнокоординаты с 0 и с 0 при няв это во внимание находим Заменяя r1 и r2,получаем Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяюткоординаты точки М х у ,когда точка М лежит на этом эллипсе.

Возвед м обечасти равенства в квадрат, полу чим или Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем а2х2 2а2сх а2с2 а2у2 а4 2а2сх с2х2 ,откуда а2 с2 х2 а2у2 а2 а2 с2 .Здесь мы введем в рассмотрение новую величину а gt с, следовательно, а2 с2 gt 0 и величина b вещественна. b2 a2 c2, тогдаb2x2 a2y2 a2b2 ,или. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Уравнение, определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольныхкоординат, есть уравнение второй степени таким образом, эллипс есть линиявторого порядка. Эксцентриситетомэллипса называется отношение рас стояния между фокусами этого эллипса к длинеего большой оси обозначив эксцентриситет буквой 949 ,получаем. Таккак с lt a, то 949 lt 1,т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что c2 a2 b2 поэтому отсюда и Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, аотношение осей, в свою очередь, определяется эксцен триситетом.

Таким образом, эксцентриситетхарактеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше1 949 2, тем меньше, следова тельно, отношение значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипсвытянут.

В случае окружности b a и 0. Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо угольную системукоординат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнениемПредположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е.что а 8800 b и, следова тельно, 0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а gt b. Две прямые, перпендикулярные к большой осиэллипса и рас положенные симметрично относи тельно центра на расстоянии от него, называютсядиректрисами эллипса. Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид и. Первую из них мы условимся называть левой, вторую правой. Так как дляэллипса 949 lt 1, то. Отсюда следует, что правая директриса расположена правееправой вершины эл липса аналогично, левая ди ректриса расположена левее его левой вершины.

Частнымслучаем эллипса является окружность.

Е уравнение имеет вид х2 у2 R2. Гиперболой называется геометрическоеместо точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точекплоскости, на зываемых фокусами, есть постоянная величина указанная разность берется поабсолютному значению кроме того, требуется, чтобы она была меньшерасстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принятообозначать через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с. Пусть М произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2.

Отрезки F

Так как F1 F2 2с и так как фокусы F1 и F2 располо жены на оси Охсиммет... Уравнение, определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо... В случае равносторонней ги перболы a b и 949 8730 2.Рассмотрим какую-н... Заметим, что фокус F имеет координаты приняв это во внимание, находим. Министерство образования РФ Пензенская Государственная Архитектурно-Ст...