Математические основы теории систем

ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 1 Введение 3 Объект и устройство 3 Задачи управления 4 Матричный формализм в теории систем 6 Линейные операторы 6 Инвариантное подпространство 6 Действия над векторами 8 Матрицы и линейные преобразования 10 Понятие матриц 10 Операции над матрицами 11 Транспонированная матрица 12 Теорема Гамильтона-Келли 13 Обратная матрица 13 Диагонализация матриц 13 Понятие динамического объекта 14 Уравнение вход-выход-состояние 15 Объекты управления с непрерывным временем 19 Способы вычисления матричной экспоненты 21 Весовая функция 24 Передаточные функции и их свойства 26 Объекты управления с дискретным временем 27 Решетчатые функции 28 Разностные уравнения 29 Структурные свойства объектов управления 33 Наблюдаемость 35 Характеристики управляемости 35 Сигналы в задачах управления и наблюдения динамических объектов 36 Скачкообразная и переходная функции 38 Импульсная и весовая функции 39 Детерминированные стохастические сигналы и системы 40 Модели случайных сигналов 42 Векторные многомерные случайные величины 42 Числовые характеристики моменты случайных величин 43 Моменты многомерных случайных величин 46 Коварционная матрица 48 Элементы теории случайных функций 48 Линейные операции над случайными функциями 52 Стационарные случайные функции 55 Оптимизация в теории систем 55 Постановка задачи оптимального управления 56 Классификация задач оптимального управления 57 Динамически задачи оптимизации управления 59 Классическая задача оптимизации 61 Выпуклые и вогнутые функции 61 Задачи нелинейного программирования 62 Метод штафных функций 62 Ограничения типа равенств неотрицательность переменных 63 Квадратичное программирование 64 Итеративные методы поиска оптимума 64 Градиентный метод 64 Метод наискорейшего спуска подъема 64 Алгоритм Ньютона 65 Задачи и методы линейного программирования 65 Геометрическая интерпритация основной задачи программирования 66 Симплекс метод 66 ВВЕДЕНИЕ. Кибернетика - это наука об управлении, а также передаче и обработке информации в технических и нетехнических системах.

Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение методы различных математических дисциплин, таких как теория функций, теория вероятности, статистика и математическая логика.

Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и математические методы, применявшиеся первоначально в технике, оказались удобными для анализа определенных явлений и достижения определенных целей в нетехнических системах и, прежде всего, и биологии и философии, экономики и общественных науках.

Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных процессах при автоматизации установок производственной техники, мы находим переплетение производственной и информационной техники.

Оно характеризуется тем, что на основании информации, получаемой путем измерения и затем перерабатываемой, оказывается воздействие на поток энергии или вещества таким образом, чтобы целенаправленно изменить определенные физические или технико-экономические параметры.

Этот процесс называется управлением.

Управление - это целенаправленное воздействие на параметры или на отдельные системы и их поведение.

ОБЪЕКТ И УСТОЙСТВО. Объект объект управления является частью данной установки, на которую оказывает управляющее воздействие и изменения которой являются определяющими для выполнения задачи управления.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА УПРВЛЕНИЯ Управляемый параметр исполнительный сигнал или сигнал управления задающее воздействие поток информации Рис. 1 Регулятором управляющее устройство называется совокупность звеньев, которые служат для оказания воздействия на объект через исполнительный орган в соответствии с поставленной задачей.

Исполнительным органом называется звено, которое служит для непосредственного целенаправленного воздействия на поток энергии или вещества, он обычно относится к объекту. Звенья объекта и устройства управления называются элементарными звеньями. Временные характеристики входных и выходных параметров этих звеньев называются входными и выходными сигналами.

Входные сигналы, воздействующие на объект, называются сигналами помехи. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ Ранее мы охарактеризовали управление как целенаправленное воздействие на параметры процесса или системы. прежде чем осуществить такое целенаправленное воздействие, исследуем задачи. Конкретная постановка задачи гласит. 1. Основные параметры процесса, несмотря на воздействие возмущения, должны стабилизироваться или изменяться согласно заданию. 2. Заданные параметры температура, давление и т.д. должны регулироваться так, чтобы обеспечивался удовлетворительный или оптимальный режим работы, чтобы желаемый выходной продукт производился в достаточном или в максимально возможном количестве, чтобы заданное количество выходного продукта имело минимальную себестоимость. 3. При изменении производственной задачи или условий протекания, процесс должен легко перестраиваться на другой режим работы.

Например, пуск и остановка процесса загрузки, производственного или энергетического процесса при ремонте и т.д. Задача 2 требует построения только статической модели процесса и является статической проблемой, так что мы можем говорить об управлении в статическом режиме.

Задачи 2 и 3 касаются динамического режима, так как компенсация изменяющихся возмущающих воздействий, необходимая для стабилизации, сравнение параметров процесса с изменяющимся задающим воздействием, а также перестройка при переходе от одного режима в другой, могут быть решены только с учетом динамических характеристик процесса.

Отсюда следует, что здесь идет речь об управлении в динамическом режиме. В качестве основы для отыскания решения и оценки качества приложенной схемы управления используем количественную меру. Она выражается целевой функцией. При решении проблем 1 и 3 может быть использовано время T, в течении которого автоматическая система компенсирует скачкообразное возмущающие воздействие с точностью до заданной допустимой погрешности или в течении которого будет осуществляться процесс перехода в новое состояние.

Время T при этом характеризует качество автоматического управления. При решении проблемы 1 можно использовать интеграл от абсолютной ошибки, представляющий разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в том случае можно говорить о функции ошибки. В зависимости от того, что выражает целевая функция качество или прибыль, ошибку или стоимость, цель к которой надо стремится, состоит в том, чтобы изменять регулируемые величины или свободные параметры в пределах допустимых или возможных границ так, чтобы целевая функция имела максимальное или минимальное значение.

Таким образом, мы получим оптимальное управление. В других случаях, например, при отсутствии полных сведений о процессе или с целью снижения затрат на аппаратуру и вычислительные устройства, можно ограничиться субоптимальным, удовлетворяющим уравнением.

Матричный формализм в теории систем

Это правило называется преобразованием пространства Un или оператором,... Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R... Определитель характеристической матрицы называется характеристическим ... Свойства 1. Если собственные числа матрицы А различны корни характеристического ур...

Действия над векторами

. n 10 х х i х 1 , ,х n 1 Число n компонент вектора называется его разме... а х у, если равны их компоненты x i y i x 1 y 1 x 1 y 1 б х у -сумма в... Линейное пространство в котором определено скалярное произведение назы... x1 y1 Пусть х х2 и у у2 два вектора в трех мерном x3 y3 пространстве. ...

Матрицы и линейные преобразования

Матрицы и линейные преобразования.

Понятие матриц

Понятие матриц. Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А... Преобразование А называют линейным, если выполняется условие 3 А х1 х2... Матрицей А размером m n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столб...

Операции над матрицами

Операции над матрицами. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, б- число. 6 бА б аij При умножении матрицы А на число б все ее члены умножаются ... Матрица АT а ij размером m n, строки которой являются столбцами матриц... Элемент а ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотн...

Теорема Гамильтона-Келли

Теорема Гамильтона-Келли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения. 13 det A I a0?n a1?n-1 an-1? an 0 14 a0An a0An-1 an-1A anI 0 n n

Обратная матрица

Обратная матрица. 16 А-1 1 detA Aij T , где Аij - алгебраическое дополнение элемента а в... ?1 0 0 18 diag ?1 ?2 n 0 ?2 0 0 0 ?n Нормой матрицы А размер m n назыв... В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с мн... S t0 - называется состоянием объекта в момент t0.

Уравнение вход-выход-состояние

Уравнение вход-выход-состояние. 2 у t0,t A б,U , где черта над A служит для того, чтобы отличить у t и... Природа пространства состояний ? объекта является одной наиболее важны... Если ? есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространст... Графическое представление систем.

Объекты управления с непрерывным временем

Объекты управления с непрерывным временем. th. Пусть A t есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерыв... t 1. Прежде всего нужно определить выходной сигнал xv t, соответствующий вх...

Передаточные функции и их свойства

Передаточные функции и их свойства. Пусть система A линейна и стационарна и пусть h является ее импульсной... В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция ст... Пусть - линейная стационарная система, и пусть H S - ее передаточная ф... Передаточная функция H S идентична весовой функции g t, преобразованно...

Объекты управления с дискретным временем

Используя выведенные ранее уравнения и вводя обозначение 3 F exp AT, T... f nT ?T f nT T 8 f n-1 T,T f nT,0 Конечные разности решетчатых функций... При каждом фиксированном значении р переменной функцию f nT ?T -4T -3T... Функции, определенные только в некоторых точках t1,t2 и т.д называются... В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только пер...

Разностные уравнения

13 Д3x n Д2x n 2Дx n 2x n f n 13 можно переписать x n 3 -2x n 2 3x n 1... Пример функция времени z-преобразование 1 t 1 1-z-1 e-бt 1 1-z-1e-бt С... Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности z Ru, где Ru lim ... 3. Теорема сдвига.

Структурные свойства объектов управления.

Введение

Введение Реакция любой линейной системы содержит две составляющие реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризуется передаточной функцией.

Рассмотрим линейную стационарную систему У с несколькими входами и выходами описываемую уравнениями 1 x Ax Bu 2 y Cx Du где A,B,C,D- n n, n r, p n и p r - постоянные матрицы x- n-мерный вектор, характеризующий состояние данной системы u- входной r-мерный вектор, у- входной p-мерный вектор.

Будем говорить, что система У управляема, если при известных матрицах A и B и состоянии x0 системы при t0 можно найти некоторый вход u t0,t0 T , который будет переводить систему из состояния x0 в нулевое состояние 0 в момент t0 T. Опр. Система Ф, определенная уравнением 1 называется управляемой в том и только том случае, если для всех х0 N при начальном состоянии x0 системы в момент t 0 и некотором конечном T T 0 найдется вход U 0,T такой, что 3 x T x0 0 U 0 T 0 Опр. Состояние х1 системы У, описываемой уравнением 1 , будем называть управляемым в том и лишь в том случае, если для некоторого конечного Т существует управление U 0,T такое, что x T x1 0 U 0 T 0 НАБЛЮДАЕМОСТЬ. Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости. Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы, характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который переводит это состояние в нулевое конечное время.

Наблюдаемость означает, что знания матриц характеризующих систему, и реакции при нулевом входе Y 0,t на конечном интервале достаточно для однозначного определения начального состояния данной системы.

Определение система, описываемая 1 и 2 называется наблюдаемой в том случае, когда, для некоторого Т 0 и всех возможных начальных состояний х 0 , значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y 0,t достаточно, чтобы определить начальное состояние x 0 . Тh Система, Y описываемая 1 , 2 наблюдаема в том и лишь в том, случае, если на np столбцов матрицы Р С ,А С , ,А n-1 С натянуто пространство состояний Матрицы А , С получаются транспонированием матриц А, С и заменой их элементов комплексно сопряженными.

Характеристики управляемости

Такая форма позволяет определить управление, требуемое для перевода лю... Пусть А имеет различные собственные значения, так что J diag ?1, N . Временная функция форма передачи, передаваемая материальным параметром... Цифровыми сигналами являются закодированные дискретные сигналы, в кото... u t рис 1.

Импульсная и весовая функции

Импульсная и весовая функции. Реакция на импульсное воздействие х t линейного звена 6 x t ?q u t q A... ДЕТЕТМЕНИРОВАННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ. u u u а t б t в t u а-в детерминированные сигналы г - стохастический с... Системы называются детерминированными, если все сигналы вход, состояни...

Модели случайных сигналов

Модели случайных сигналов. Случайную величину можно определить как, функцию заданную на пространс... Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита X,Y... Этот факт обозначается следующим образом Х Х щ. Такие случайные величины встречаются во многих технических задачах.

Числовые характеристики моменты случайных величин

Полными характеристиками случайных величин являются их функции распред... Одной из наиболее важных числовых характеристик случайной величины явл... В этом случае сумма 4 после предельного перехода равна соответствующем... Для характеристики величины разброса значений случайной величины около... За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисп...

Моменты многомерных случайных величин

Если имеется не две, а большее число случайных величин, например, х1, ... матрица К является симметричной 20 КT К Пусть выполняется линейное пре... 13 мk1, k2 kn M x10 k1 x20 k2 xn0 kn Вычислим момент первого порядка д... Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех координат ... 15 M X T M x1 M xn Рассмотрим момент второго порядка, пусть имеем две ...

Элементы теории случайных функций

Важными характеристиками случайных величин являются моменты. Если изве... 5 mT m1, m2 mn и корреляционную матрицу этой случайной многомерной вел... При перемене местами аргументов корреляционная функция меняется на ком... K t1 t2 K t1, t2 3. Корреляционная функция является положительно определенной функцией. Вм...

Линейные операции над случайными функциями

Пусть известны моменты этих функций до второго порядка включительно M ... Случайная функция X t называется непрерывной в среднем квадратическом,... 3. Интегрирование случайной функции. Пусть заданы случайная функция Х T и... Разобьем интервал а, в точками T0 а,T0, ,Tn в, на n частей и составим ...

Стационарные случайные функции

Стационарные случайные функции. Существуют случайные функции, не изменяющие свой характеристики с течением времени.

Такие случайные функции называются стационарными. Случайная функция, для которой все n-мерные функции распределения вероятностей не изменяются с изменением начала отсчета времени, называются стационарными в узком смысле. 1.10

Оптимизация в теории систем

Оптимизация в теории систем. В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута, нескольким... Во многих случаях реализация процесса управления требует затрат каких-... Наиболее предпочтительным или оптимальным способом управления будет та... Ограничением первого вида являются сами законы природы, всоответсвии с...

Постановка задачи оптимального управления

Постановка задачи оптимального управления. Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математи...

Классификация задач оптимального управления

Задачу называют детерминированной, если нет неопределенности в отношен... указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи. Одношаговую задачу принятия решений называют стохастической, если прос... При мат-ком описании конфликтной ситуации пространство решений следует... Задачи, в которых ОУ находится в состоянии непрерывного движения и изм...

Классическая задача оптимизации

Классический способ решения данной задачи состоит в том, что уравнение... сводится к задаче на безусловный экстремум.. Классическая задача оптимизации. Эта задача состоит в нахождении минимума целевой функции q х, где х х ...

Выпуклые и вогнутые функции

Рассмотрим также отрезок z ?f х1 1 f х2 , соединяющий значения f х1 и ... Для выявления классов таких задач фундаментальную роль играют понятия ... Выпуклые и вогнутые функции. Пусть f х - некоторая функция, заданная на выпуклом множестве Х, ах1, ... Функцию f х называют выпуклой, если она целиком лежит ниже отрезка, со...

Задачи нелинейного программирования

Задачи нелинейного программирования. Постановка задачи.

В этой задаче требуется найти значение многомерной переменной х х 1 х n, минимизирующее целевую функцию q х при условии, когда на переменную х наложены ограничения 20 fi x ?0, i 1,n а переменные х j, не отрицательны.

Метод штафных функций

Метод штафных функций. Задача минимизации целевой функции q х с ограничениями 20 может, быть ... В точки х оптимального решения выполняются соотношения 25 L x q x Пуст... Она может быть или внутренней, или граничной точкой допустимой области... Но поскольку х - оптимальная точка, то должно быть dq x dx i -0 Если х...

Квадратичное программирование

Задачей КП называют задачи НЛП, в которой минимизируется сумма линейно... В основе этих методов лежит понятие градиента целевой функции q х, gra... КП . Квадратичное программирование.

Градиентный метод

Этот метод представляет собой последовательность шагов, каждый из кото... Градиентный метод. В отличии от градиентного метода, в методе наискорейшего спуска градие... Если на каком-то шаге q х возросло, то движение в данном направлении п...

Алгоритм Ньютона

Однако элементы, аij матрицы А, вычисленные в точке оптимума, заранее ... ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРГРАММИРОВАНИЯ. Дана система m линейно независимых уравнений с неизвестными х , ,х наз... m n. Требуется найти неотрицательные значения переменных, которые удовлетво...

Симплекс метод

невырожденна каждая угловая точка ?R0. D an 1, an 2 an xT xвТ, xдТ , CТ CвТ, CдТ хВ - базис компоненты, хд - ... a Если для любого к 1,n будет ?к 0, то точка х - оптимальная. в Пусть найдутся такие к?m 1 и i?m, что ?к 0 и В-1akа 0. 4 Конечность метода.