рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Разностные уравнения

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Разностные уравнения

Разностные уравнения - раздел Математика, Математические основы теории систем Разностные Уравнения. Всякое Соотношение, Связывающую Решетчатую Функцию X N ...

Разностные уравнения. Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x n и ее разности до некоторого порядка K 11 Ф n, x n , Д x n Дkx n 0, называется разностным уравнением. Соотношение 11 можно записать 12 Ф n, x n, x n 1 ,x n 2 , ,x n k 0, уравнение порядка K. Рассмотрим пример. 13 Д3x n Д2x n 2Дx n 2x n f n 13 можно переписать x n 3 -2x n 2 3x n 1 f n, если m n 1, тогда 14 x m 2 -2x m 1 3x m f m-1 Таким образом, уравнение 13 является уравнением второго порядка.

Решетчатая функция x n, которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения.

Решение разностного уравнения РУ определяется наиболее просто, если РУ порядка К можно разрешить относительно функции x n k, т.е представить в виде 15 x n K F n, x n, x n 1 , ,x n k-1 Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n n0 x n0 x0, x n0 1 x1 x n0 K-1 xk-1 Соотношение 15 определяет по заданным начальным условиям значение решения при n n0 K. Используя значение x n0 K , вычислим последовательно x n0 K 1 , x n0 K 2 и все остальные x n при n?n0 K. Решение РУ 15 x n ? n, x0, x1, ,xk-1 . Рассматриваемая начальные условия мы получим общее решение уравнения 15 как функцию К произвольных постоянных C0,C1, ,Ck-1 16 x n ? n,C0,C1, ,Ck-1 Линейное РУ порядка К 17 a0 n Дrx n a1 n Дr-1x n ar n x n f n где r?K, f n, a0 n, a1 n , ,ar n - заданные решетчатые функции.

Данное уравнение называется неоднородным РУ, если правая часть f n ?0, в противном случае это уравнение однородно.

Если решетчатые функции ?1 n ?l n являются решением линейного однородного РУ x n K b1 n x n K-1 bk n x n 0, то функция l ? n ? Ciоi n, где i 1,2, ,l - произвольные постоянные, i 1 также является его решением.

Совокупность К линейно независимых решений разностного однородного уравнения порядка К называется фундаментальной системой решений.

Если при n?n0 существует фундаментальная система решений ?1 n, k n однородного разностного уравнения, то общее решение этого уравнения выражается k ? n ? Ci?i n i 1 Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения x n K b1 n x n K-1 bk n x n f n равно сумме частного решения ш n и общего решения соответствующего однородного ур-я, т.е. k x n ш n ? Ci?i n i 1 где Ci - произвольные постоянные, Ei n - решение однородного уравнения, удовлетворяющие W E1 n0 , ,Ek n0 ?0 определитель. Z - преобразования и его свойства.

U y t рис. 3. Для изучения свойств и соотношений, связывающих входные и выходные последовательности системы, изображенной на рис.3, воспользуемся Z-преобразованием.

На рис.3 показана модель системы вход U с импульсным модулятором. Определение Z-преобразование. функции U 0 ? представляет собой функцию U комплексной переменной Z определяемую выражением ? 18 U z Z U ? U nT Z-n, где n 0 Т-период повторения импульсного модулятора.

Замечание Если U имеет разрыв в любой дискретный момент kT, смысл соотношения 18 становится не вполне понятным.

Поэтому будем всегда считать U nT U nT , n 0,1, ,т.е. все функции от времени, которые будут преобразовываться в дискретные, будут равны 0 для t 0, и если они непрерывны в некоторые дискретные моменты, то должны существовать значения U nT- и U nT . Пример функция времени z-преобразование 1 t 1 1-z-1 e-бt 1 1-z-1e-бt Согласно 18 U z определяется степенным рядом от z-1. Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности z Ru, где Ru lim SVp v U nT n ? Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный радиус сходимости.

Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен ? U ? U kT д t-kT k 0 Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа ? U S ? U kT e-srT k 0 Сравнивая 18 с данным соотношением, замечаем, что U z z esT U S Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H z будет Z-преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом состоянии на входе U, прикладываемый в момент t 0. Тогда получим 19 Y Z H Z U Z ,для Z max Ru,Rk Выражение 19 аналогично выражению Y S H S V S , которое устанавливает зависимость реакции при нулевом состоянии, импульсной реакции U входа непрерывной системы.

По этой причине будем называть H Z дискретной передаточной функцией или передаточной функцией, Z-функцией 20 H Z U Z ? ylz-e Y Z , Z max Rh, Ru l 0 Формула для нахождения последовательности y kT , т.е. дискретного выхода.

Свойства Z-преобразования. 1. Теорема линейности. Z бf бZ f ? комплексных чисел б Z Rf Z f g Z f Z g ? Z max Rf,Rg 2. Теорема обращения f nT 1 2?j ?Г F Z Z-1 dZ, n 0,1 где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат и лежащая вне окружности Z R Rf. 3. Теорема о начальном значении. f 0 lim F Z Z ? 4. Теорема сдвига. Если F Z есть Z- преобразование последовательности f0,f1,f2 то Z-1F Z есть Z-преобразование последовательности 0,f0,f1,f2 1.6.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические основы теории систем

Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение… Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и… Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Разностные уравнения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матричный формализм в теории систем
Матричный формализм в теории систем. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un

Действия над векторами
Действия над векторами. Упорядоченные последовательности из n - чисел х 1 , ,х n, могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки x 1 n n 9 х x i x 1 , ,x n x i x n 1 1 Эти числа, с

Понятие матриц
Понятие матриц. Матрицей А размером m n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа a11 a1n A aij am1 amn Если m n, то матрицу

Операции над матрицами
Операции над матрицами. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, б- число. 6 бА б аij При умножении матрицы А на число б все ее члены умножаются на это число.

Обратная матрица
Обратная матрица. Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение 15 А А-1 А-1 А Е Пусть у Ах - л

Уравнение вход-выход-состояние
Уравнение вход-выход-состояние. Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения t0,t - переменная в пространстве R U , R y - пространство входа и выхода. 2 y

Объекты управления с непрерывным временем
Объекты управления с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения состояния 1 Њ t A t S t B t U t 2 у t C t S t D0 t U t D1 t U 1 t Dк t U к t Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

Передаточные функции и их свойства
Передаточные функции и их свойства. Пусть система A линейна и стационарна и пусть h является ее импульсной реакцией. Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преоб

Объекты управления с дискретным временем
Объекты управления с дискретным временем. В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восст

Структурные свойства объектов управления
Структурные свойства объектов управления. Введение Реакция любой линейной системы содержит две составляющие реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризует

Характеристики управляемости
Характеристики управляемости. Тh Система Y , описываемая уравнением 1 , управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ, ,B n-1 матрицы Q? В,АВ, ,А n-1 В натянуто пространство состоян

Импульсная и весовая функции
Импульсная и весовая функции. Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характери

Модели случайных сигналов
Модели случайных сигналов. Величина, которая в каждом определенном случае в зависимости от результатов опыта может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Ко

Числовые характеристики моменты случайных величин
Числовые характеристики моменты случайных величин. Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей. Однако многие задачи

Моменты многомерных случайных величин
Моменты многомерных случайных величин. Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор

Элементы теории случайных функций
Элементы теории случайных функций. При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать

Линейные операции над случайными функциями
Линейные операции над случайными функциями. Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций 1. Сложение случа

Оптимизация в теории систем
Оптимизация в теории систем. Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую. Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допус

Постановка задачи оптимального управления
Постановка задачи оптимального управления. Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математически, если сформулирована цель управления, определены ограничения первого вида, пре

Классификация задач оптимального управления
Классификация задач оптимального управления. Одношаговые задачи принятия решения. В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает на

Классическая задача оптимизации
Классическая задача оптимизации. Эта задача состоит в нахождении минимума целевой функции q х, где х х 1 х т - точка в пространстве R т при наличии ограничений типа равенств 16 fi x 0, i 1,m, m n Е

Выпуклые и вогнутые функции
Выпуклые и вогнутые функции. Большинство известных методов решения задачи оптимизации сводится к исследованию характера функции q х в окрестности рассматриваемого значения x, т.е. к выяснению того,

Метод штафных функций
Метод штафных функций. Задача минимизации целевой функции q х с ограничениями 20 может, быть сведена к задаче на безусловный экстремум видоизменением целевой функции путем добавления к ней функции

Квадратичное программирование
Квадратичное программирование. КП . Задачей КП называют задачи НЛП, в которой минимизируется сумма линейной и квадратичной форм при ограничениях типа линейных неравенств и не отрицательности переме

Градиентный метод
Градиентный метод. Этот метод представляет собой последовательность шагов, каждый из которых содержит две операции 1 определение направления антиградиента функции q х 2 перемещение в выбранном напр

Алгоритм Ньютона
Алгоритм Ньютона. В тех случаях, когда поверхность отклика достаточно хорошо описывается уравнением второго порядка, резкое уменьшение числа шагов можно получить, если воспользоваться алгоритмом Нь

Симплекс метод
Симплекс метод. Идея метода. Этот метод - это последовательный перебор угловых точек, при которых значение целевой функции убывает от одной угловой точки к другой. Рассмотрим задачи к