рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Элементы теории случайных функций

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Элементы теории случайных функций

Элементы теории случайных функций - раздел Математика, Математические основы теории систем Элементы Теории Случайных Функций. При Изучении Ряда Явлений Природы Приходит...

Элементы теории случайных функций. При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция в данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие множеству значений, принимаемые случайной функцией, как закономерности массового явления можно изучить.

Случайная функция как случайная величина, принимает различные значения в зависимости от исхода опыта элементарного события, кроме того, случайная функция зависит от некоторого неслучайного параметра t, например времени.

Если параметр t- время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если зафиксировать элементарное событие щ щ0, то Х t, щ0 будет неслучайной функцией аргумента t. Конкретный вид случайной функции при фиксированном, т.е. возможном опыте, называется реализацией случайной функции. Если зафиксировать параметр случайной функции t, т.е. рассмотреть сечение этой случайной функции при t tk, то она будет зависеть только от элементарного события и, следовательно, станет случайной величиной Х tk, щ. Чтобы полностью задать случайную функцию Х t, надо знать все n-мерные функции распределения Fn x1, ,xn t1, ,tn, которые зависят от n переменных х1, ,хn и значений t1, ,tn, или плотности распределения вероятностей fn. Важными характеристиками случайных величин являются моменты.

Если известна двумерная функция распределения или плотность распределения вероятностей случайной функции, то всегда можно вычислить моменты случайной функции до второго порядка включительно, такими моментами являются математически ожидания ? 1 M X t ? xf1 x, t dx mx t дисперсия ? 2 D X t ? x-mx t 2f1 x, t dx D1 t и корреляционный момент 3 Kx t1,t2 M X0 t1 X0 t2 x1-mx t1 x2-mx t2 f2 x1,x2 t1,t2 dx1dx2, где 4 X0 t X t -M X t, центрированная случайная функция.

Если параметру t придавать все возможные значения, то математическое ожидание 1 и дисперсия 2 случайной функции будут функциями одной переменной t, а корреляционный момент 3 функцией двух переменных t1 и t2. Корреляционный момент Кx t1,t2 называется корреляционной функцией случайной функции Х t. Математическое ожидания представляет собой среднее значение случайной функции Х t рис 2, а дисперсия характеризует отклонение значений, принимаемых случайной функцией, от ее математического ожидания.

Корреляционная функция характеризует зависимость между случайными величинами Х t1 и Х t2 -сечениями случайной функции при t t1 и t t2. x t m x t Рис 2 Теория, изучающая случайные функции на основе знания первых двух моментов случайных функций, рис 2 называется корреляционной теорией.

Если известны математическое ожидание m t и корреляционная функция К t1,t2 случайной функции Х t, то всегда можно построить n-мерный вектор математического ожидания многомерной, случайной величины x t1 , ,x tn для фиксированных значений t1, t2, ,tn. 5 mT m1, m2 mn и корреляционную матрицу этой случайной многомерной величины K t1,t1 K t1,t2 K t1,tn K t2,t1 k t2,t2 K t2,tn 6 K K tn, t1 K tn, t2 K tn, tn НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ. 1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии случайной функции, т.е. K t, t D t 2. При перемене местами аргументов корреляционная функция меняется на комплексно - сопряженную, т.е. K t1 t2 K t1, t2 3. Для всякой корреляционной функции справедливо неравенство 1 K t1, t2 ?v D t1 D t2 4. Корреляционная функция является положительно определенной функцией.

Вместо корреляционной функции может быть рассмотрена безразмерная нормированная корреляционная функция R t1, t2 определяемая равенством t1, t2 5 R t1, t2 v D t1 D t2 Из определения свойств корреляционной функции можно показать, что для нормированной корреляционной функции справедливо состояние R t, t 1 , R t2,t1 R t1,t2 , R t1,t2 ?1 В теории случайных чисел большую роль играет один из видов случайной функции, математическое ожидание которой равно 0, а корреляционная функция равна дельта функции.

Такую случайную функцию называют белым шумом.

Для белого шума как это следует из определения, справедливы равенства 6 M X t 0 7 K t1, t2 G t д t1-t2 Функция G t называется интенсивностью белого шума. Дельта-функция при значении аргумента, отличном от 0, равна 0, поэтому для белого шума случайные величины, соответствующие двум сколь угодно близким значениям, являются некоррелированными. Рассмотри систему из n случайных функций 8 X1 t ,X2 t , ,Xn t Каждая из функций этой системы характеризуется математическим ожиданием и корреляционной функцией.

Однако необходимо еще ввести характеристику связи между отдельными случайными функциями системы 8 . Такой характеристикой является взаимная корреляционная функция двух случайных функций Xi t и Xi t, и определяется равенством 9 Kxixj t1,t2 M Xi0 t Xj0 t Для того, чтобы отличать взаимную корреляционную функцию, от корреляционной функции, последнюю называют также автокорреляционной.

Для взаимной корреляционной функции случайных функций Хi t и Yj t справедливы свойства 10 Kxy t1, t2 Kxy t1, t2 11 Kxy t1, t2 ? vDx t1 Dy t2 Две случайные функции Х t и Y t называются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю т.е. 12 Kxy t1, t2 0 В ряде случаев удобно ввести безразмерную характеристику связи между случайными функциями нормированную взаимную корреляционную функцию Kxy t1,t1 13 Rxy t1, t2 v Dx t1 Dy t1

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические основы теории систем

Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение… Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и… Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Элементы теории случайных функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матричный формализм в теории систем
Матричный формализм в теории систем. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un

Действия над векторами
Действия над векторами. Упорядоченные последовательности из n - чисел х 1 , ,х n, могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки x 1 n n 9 х x i x 1 , ,x n x i x n 1 1 Эти числа, с

Понятие матриц
Понятие матриц. Матрицей А размером m n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа a11 a1n A aij am1 amn Если m n, то матрицу

Операции над матрицами
Операции над матрицами. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, б- число. 6 бА б аij При умножении матрицы А на число б все ее члены умножаются на это число.

Обратная матрица
Обратная матрица. Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение 15 А А-1 А-1 А Е Пусть у Ах - л

Уравнение вход-выход-состояние
Уравнение вход-выход-состояние. Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения t0,t - переменная в пространстве R U , R y - пространство входа и выхода. 2 y

Объекты управления с непрерывным временем
Объекты управления с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения состояния 1 Њ t A t S t B t U t 2 у t C t S t D0 t U t D1 t U 1 t Dк t U к t Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

Передаточные функции и их свойства
Передаточные функции и их свойства. Пусть система A линейна и стационарна и пусть h является ее импульсной реакцией. Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преоб

Объекты управления с дискретным временем
Объекты управления с дискретным временем. В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восст

Разностные уравнения
Разностные уравнения. Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x n и ее разности до некоторого порядка K 11 Ф n, x n , Д x n Дkx n 0, называется разностным уравнением. Соотношение 11 можн

Структурные свойства объектов управления
Структурные свойства объектов управления. Введение Реакция любой линейной системы содержит две составляющие реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризует

Характеристики управляемости
Характеристики управляемости. Тh Система Y , описываемая уравнением 1 , управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ, ,B n-1 матрицы Q? В,АВ, ,А n-1 В натянуто пространство состоян

Импульсная и весовая функции
Импульсная и весовая функции. Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характери

Модели случайных сигналов
Модели случайных сигналов. Величина, которая в каждом определенном случае в зависимости от результатов опыта может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Ко

Числовые характеристики моменты случайных величин
Числовые характеристики моменты случайных величин. Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей. Однако многие задачи

Моменты многомерных случайных величин
Моменты многомерных случайных величин. Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор

Линейные операции над случайными функциями
Линейные операции над случайными функциями. Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций 1. Сложение случа

Оптимизация в теории систем
Оптимизация в теории систем. Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую. Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допус

Постановка задачи оптимального управления
Постановка задачи оптимального управления. Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математически, если сформулирована цель управления, определены ограничения первого вида, пре

Классификация задач оптимального управления
Классификация задач оптимального управления. Одношаговые задачи принятия решения. В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает на

Классическая задача оптимизации
Классическая задача оптимизации. Эта задача состоит в нахождении минимума целевой функции q х, где х х 1 х т - точка в пространстве R т при наличии ограничений типа равенств 16 fi x 0, i 1,m, m n Е

Выпуклые и вогнутые функции
Выпуклые и вогнутые функции. Большинство известных методов решения задачи оптимизации сводится к исследованию характера функции q х в окрестности рассматриваемого значения x, т.е. к выяснению того,

Метод штафных функций
Метод штафных функций. Задача минимизации целевой функции q х с ограничениями 20 может, быть сведена к задаче на безусловный экстремум видоизменением целевой функции путем добавления к ней функции

Квадратичное программирование
Квадратичное программирование. КП . Задачей КП называют задачи НЛП, в которой минимизируется сумма линейной и квадратичной форм при ограничениях типа линейных неравенств и не отрицательности переме

Градиентный метод
Градиентный метод. Этот метод представляет собой последовательность шагов, каждый из которых содержит две операции 1 определение направления антиградиента функции q х 2 перемещение в выбранном напр

Алгоритм Ньютона
Алгоритм Ньютона. В тех случаях, когда поверхность отклика достаточно хорошо описывается уравнением второго порядка, резкое уменьшение числа шагов можно получить, если воспользоваться алгоритмом Нь

Симплекс метод
Симплекс метод. Идея метода. Этот метод - это последовательный перебор угловых точек, при которых значение целевой функции убывает от одной угловой точки к другой. Рассмотрим задачи к