Экстремумы функций

Содержание. 1. Введение 2. Историческая справка 3. Экстремумы функций одной переменной. 1. Необходимое условие 1. Достаточное условие. Первый признак 2. Достаточное условие. Второй признак 3. Использование высших производных 4. Экстремумы функций трех переменных. 1. Необходимое условие 4.2. Достаточное условие 5. Экстремумы функций многих переменных. 1. Необходимое условие 2. Достаточное условие 3. Метод вычисления критериев Сильвестера 4. Замечание об экстремумах на множествах 6. Условный экстремум. 1. Постановка вопроса 2. Понятие условного экстремума 3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 6.4. Стационарные точки функции Лагранжа 5. Достаточное условие 7. Заключение 8. Библиография Цель данного дипломномного проекта заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения.

Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании. Гипотезой дипломного проекта является рассмотрение и описание экстремумов функции трёх переменных, формулировании необходимого и достаточного условия их существования, а также рассмотрение метода вычисления критериев Сильвестера.

В качестве объекта для исследования и описания использовались функции одной и многих переменных. 1.

Введение

Введение. Вмире не происходит ничего, в чем бы не был виден Смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Л.Эйлер. В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше. Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления.

Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками – Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям. Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом. Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений.

На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения. В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин. 2.

Историческая справка

В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень д... Вычитаем из обеих частей и делим на h, откуда P Qh …<0.Так как h мо... К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, п... Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функ...

Экстремумы функций одной переменной

Экстремумы функций одной переменной. Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих фун... В этом случае, в промежутке [х 0 - ,х 0 ] функция f(x) возрастает, a в... III f’(x)>0 как при х<х 0 так и при х>х 0 либо же f’(x) и сле... Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х 0...

Использование высших производных

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора f(x)-f(x 0 )=f (n) ... Если n нечетно, то при переходе через х 0 скобка (х-х 0 ) n меняет зна... Значит, при n=2k+1 экстремума нет. Если n четно, то (x-x 0 ) n >0 при x=x 0 и, следовательно, а малой ... е.

Экстремумы функций трех переменных

Экстремумы функций трех переменных. Необходимые условия экстремума. Пусть функция v=f(x, y,z) определена в области D и (x 0 ,y 0 ,z 0 ) бу... чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x 0 ,y 0 ,z 0 ) выполнялос... Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отс...