Экстремумы функций трех переменных

Экстремумы функций трех переменных. Необходимые условия экстремума. Пусть функция v=f(x, y,z) определена в области D и (x 0 ,y 0 ,z 0 ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x, y,z) в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 + , y 0 - ,y 0 + ,z 0 - ,z 0 + ) что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x, y,z)<f(x 0 ,y 0 ,z 0 ) (>) Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x 0 ,y 0 ,z 0 ) выполнялось строгое неравенство f(x, y,z)<f(x 0 ,y 0 ,z 0 ) (>) то говорят, что в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет экстремум, Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные f x ’(x 0 ,y 0 ,z 0 ), f y ’(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ,f z ’(x 0 ,y 0 ,z 0 ) то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y 0 ,z= z 0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х : v=f(x, y 0 ,z 0 ) Так как мы предположили, что в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x 0 - ,x 0 + ) точки x=x 0 , необходимо должно выполняться неравенство f(x, y 0 ,z 0 )<f(x 0 ,y 0 ,z 0 ) так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что f x ’(x 0 ,y 0 ,z 0 )=0 Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю. Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений f x ’(x, y,z)=0 f y ’(x, y,z)=0 (4.2) f z ’(x, y,z)=0 Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными. 4.2.Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x, y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x 0 ,y 0 ,z 0 ), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям f x ’(x 0 ,y 0 ,z 0 )=0,f y ’(x 0 ,y 0 ,z 0 )=0 ,f z ’(x 0 ,y 0 ,z 0 )=0 Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности = f(x, y,z)- f(x 0 ,y 0 ,z 0 ) Разложим ее по формуле Тейлора,.