Моделирование значений случайных векторов

Содержание 1. Аннотация 2. Введение 3. Необходимые сведения 4. Исходные данные и обозначения 5. Вывод неизвестных коэффициентов системы уравнений 6. Реализация программы в среде Matlab 7. Примеры работы программы 8. Заключение 9. Список литературы 1. Аннотация. Решение многих прикладных задач требует моделирования случайных векторов.

В работе приводится метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи используется система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. По соответствующему алгоритму разработана программа имитации значений векторов по заданной ковариационной матрице и математическим ожиданиям составляющих с треугольной матрицей преобразования.

Изучена возможность покоординатных преобразований. Проведена проверка датчика псевдослучайных чисел системы MATLAB. 2.

Введение

Введение. Решение многих прикладных задач, таких как проведение модельных (машинных) экспериментов с помощью математического моделирования требует моделирования случайных векторов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристики измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта.

Особенно необходимы такие эксперименты при решении некорректных обратных задач. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т.е. случайные величины (вектора) с заданным законом распределения. Результат эксперимента, как правило, представляет собой массив отсчетов (вольтамперная характеристика, спектр излучения источника света, пространственное распределение яркости в изображении и т.п.). Если отсчеты считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают какие-то закономерности, но к средним прибавлена случайная погрешность), то задача сводится к генерации значений независимых случайных величин (погрешностей) с нулевым средним и заданным законом распределения.

В общем случае эту задачу легко решить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), который встроен практически во все языки программирования высокого уровня.

Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения в различных экспериментальных точках могут быть коррелированны. Ниже описывается метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих.

Для решения этой задачи предлагается использовать систему алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. Алгоритм получения очередного случайного вектора заключается в следующем: — по заданным ковариационным матрицам и математическим ожиданиям составляющих случайных векторов вычисляются значения неизвестных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений; — моделируется случайный вектор, координаты которого независимы и имеют заданное одномерное распределение; — с помощью указанной системы алгебраических уравнений получается случайный вектор. Доказано, что при выполнении условий реализуемости системы линейных алгебраических уравнений закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат, а значения коэффициентов ковариации любой пары равны соответствующим элементам заданной матрицы коэффициентов ковариации.

Моделирующая программа, использующая предложенный метод, определяет значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и проверяет выполнение условий реализуемости этой системы.

В случае невыполнения условий реализуемости программа указывает на необходимость корректировки задаваемой матрицы коэффициентов ковариации. Если указанные условия реализуемости выполнены, то программа позволяет выбрать количество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов. По окончании моделирования программа проверяет соответствие параметров закона распределения координат исходным требованиям, а также находит оценки для полученных в результате моделирования коэффициентов ковариации координат.

Программа реализована в вычислительной среде MATLAB. 3. Необходимые сведения. Ниже приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятности. Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами. 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. , . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е. . 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е. . 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. . Можно доказать, что для случайных величин и для независимых случайных величин. Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами. 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т.е. , . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат, т.е. . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий, т.е. . Можно доказать, что для случайных независимых величин Линейное преобразование случайных векторов. Предположим, что - случайный - мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей. Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор Можно показать справедливость следующих выражений , . - вектор математического ожидания Если - случайный - мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения справедливо . 4.

Исходные данные и обозначения

В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распр... Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в си... 5. Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде: , где , ... т.к.