Описание алгоритма. Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций. Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева.
Он умеет выполнять команды: вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок) вправо (перейти в соседнюю справа вершину) вниз (спуститься вниз на один уровень) вверх_налево вправо вниз и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному". Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.
Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом". Нам понадобится такая процедура: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)} begin {инвариант: ОЛ} while есть_сверху do begin вверх_налево end {ОЛ, Робот в листе} обработать; {ОЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, листья не обработаны надо: Робот в корне, листья обработаны {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа} вправо; {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны} Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения): 1. {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН} 2. {ОЛ} вверх_налево {ОЛ} 3. {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ} 4. {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН} Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья). Решение.
Пусть x - некоторая вершина.
Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий.
Рассмотрим путь из корня в y. Он может: а) быть частью пути из корня в x (y ниже x); б) свернуть налево с пути в x (y левее x); в) пройти через x (y над x); г) свернуть направо с пути в x (y правее x); В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими: (ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее; (ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над. Вот как будет выглядеть программа: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны} Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков.
Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков.
Листья по-прежнему обрабатываются по разу: Под "обработано ниже и левее" будем понимать " ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью". Программа будет такой: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; обработать; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработа.