Функциональные уравнения

Содержание Введение 2 §1. Уравнения Коши 5 п. 1. Функциональное уравнение линейной однородной функции 5 п. 1.1 Класс непрерывных функций 6 п. 1.2 Класс монотонных функций. 7 п. 1.3 Класс ограниченных функций. 8 п.4. Класс дифференцируемых функций. 10 п.2. Функциональное уравнение показательной функции 11 п.1.3. Функциональное уравнение логарифмической функции 12 п.4. Функциональное уравнение степенной функции 13 п.5. Одно обобщение уравнения Коши. 14 § 2. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции 17 § 4. Решение функциональных уравнений с применением теории групп 24 § 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений 28 § 6. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений 34 п 1. Предельный переход 34 п. 2. Дифференцирование 39 Заключение 42 Список литературы 43 Введение Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например, f(x)+xf(x+1) = 1 Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе.

Они появились почти одновременно с зачатками теории функций.

Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения (1) То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x). Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения , (2) которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению. Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой.

Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка.

Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно, (3) Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции: , Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши f(x+y) = f(x)+f(y), (4) f(x+y) = f(x)•f(y), (5) f(xy) = f(x)+f(y), (6) f(xy) = f(x)•f(y), (7) Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид , , , В классе разрывных функций могут быть и другие решения.

Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной.

Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций.

Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д. Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие решать функциональные уравнения. §1. Уравнения Коши п. 1.

Функциональное уравнение линейной однородной функции

Положим в уравнении y = x, получим: f(2x) = 2f(x). Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции f, но... п. 1.1.1 Класс непрерывных функций Для рациональных x мы установили, что ... Последняя формула даёт самое общее решение функционального уравнения (...

Класс монотонных функций

Класс монотонных функций. Здесь мы будем предполагать, что функция f н... Значит для любых x1 < x2. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приб... Предположим, что это неверно, например, для выбранного иррационального... Полученное противоречие показывает, что для любого заданного иррациона...

Класс ограниченных функций

. Класс ограниченных функций. Пусть теперь функция f(x) ограничена с одн... g(nx0) > M1. Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, им...

Функциональное уравнение показательной функции

Итак, пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных ... . Заменяя x и y в (5) на x/2, получим так что f(x) строго больше 0 для в... Тогда равенство (5) можно прологарифмировать, например, по основанию e... Положим в (5) y = x0 - x: f(x) •f(x0-x) = f(x0) 0; отсюда ясно, что f(...

Функциональное уравнение логарифмической функции

Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y)... Докажем это. Для этого введём новую переменную &#958;, изменяющуюся в промежутк... Тогда функция &#966; удовлетворяет функциональному уравнению (4): ... п.1.4.

Функциональное уравнение степенной функции

. Функциональное уравнение степенной функции. . Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых... По индукции легко получить равенство ; в самом деле, по предположению ...

Одно обобщение уравнения Коши

Одно обобщение уравнения Коши. е. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим , . При х1 > x2, х1 – x2> 0, f(x1 – x2) &#8805; 0, или, в силу а... Если же (f(1))n -2 < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) —...

Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Пришли к функциональному уравнению Коши. Так как g (x) непрерывна при х > 0, то. Решение. § 3. Решение.

Решение функциональных уравнений с применением теории групп

Подставляя в (4.2) полученную функцию, убедимся, что она удовлетворяет... Теперь из первых двух уравнений найдем: . Произведенная замена перевела уравнение (4.1) —линейное относительно н... Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как ... .

Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению (5.1) Ре... . Несложные вычисления показывают, что функция , , удовлетворяет исходно... Умножим обе части равенства (5.5) слева на В-1. Матрица Х3 при х1 = 0 дает X1.

Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений п. 6.1.

Предельный переход

Предельный переход. Подставим в исходное уравнения вместо x выражение ведь если x &#88... Решить функциональное уравнение (6.11) в классе непрерывных функций. Решение. Выполнив n раз подстановку, получим систему уравнений, из которой нахо...

Дифференцирование

Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие фун... Тогда т.е. После преобразований имеем , (6.15) откуда, с учётом следует, что f(x)... Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи. Пример 2... Введём новые функции Ясно, что функция F(x) - чётная, а G(x) - нечётна...

Заключение

Заключение В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции.

Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Функциональные уравнения имеют большое применение. Так, например, в теории аналитических функций часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются функциональными уравнениями f(z + а) = f(z) и f(z + b) = f(z). Если функция известна в некоторой области, то знание для неё функционального уравнения позволяет расширить область определения этой функции.

Например, функциональное уравнение f (x + 1) = f (x) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного.

Например, пользуясь функциональным уравнением Г (z + 1) = zГ (z) и зная значения функции Г (z) (Г (z) – Гамма-функция) в полосе 0 Rez 1, можно продолжить её на всю плоскость z. Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи.

Значение соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.

Список литературы

Список литературы 1. Андреев А.А Кузьмин Ю.Н Савин А.Н Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999 2. Бродский Я. С Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с 3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120 4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с 5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. – М.: Наука, 1968, c. 157 – 162.