рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Функциональное уравнение показательной функции

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Функциональное уравнение показательной функции

Функциональное уравнение показательной функции - раздел Математика, Функциональные уравнения Функциональное Уравнение Показательной Функции. Покажем, Что Все Непрерывные ...

Функциональное уравнение показательной функции. Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f(x+y) = f(x) •f(y), (5) задаются формулой f(x) = ax (a>0) (если не считать функции, тождественно равной 0). Итак, пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (5). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x0 эта функция отлична от нуля. Положим в (5) y = x0 - x: f(x) •f(x0-x) = f(x0) 0; отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (5) на x/2, получим так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (5) можно прологарифмировать, например, по основанию e: lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y). Положив в этом соотношении φ(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (4): φ(x+y) = φ(x) + φ(y). Учитывая, что φ - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному: φ(x) = lnf(x) = cx (c = const), откуда находим, что f(x) = eix = ax (если положить a = ec). Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (5), является показательная функция (или тождественно нулевая функция). В качестве класса функций, в котором искалось решение (2), мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций.

Как и в предыдущем пункте, можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что (5), как было подмечено, сводится к (4), а для него всё ясно. п.1.3.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функциональные уравнения

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Функциональное уравнение показательной функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Функциональное уравнение линейной однородной функции
Функциональное уравнение линейной однородной функции. Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (4) Нетрудно заметить, что ли

Класс монотонных функций
Класс монотонных функций. Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x1 <

Класс ограниченных функций
Класс ограниченных функций. Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными

Функциональное уравнение логарифмической функции
Функциональное уравнение логарифмической функции. Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y), (6) справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид f(x) = l

Функциональное уравнение степенной функции
Функциональное уравнение степенной функции. Функциональному уравнению f(xy) = f(x)•f(y) (x > 0, y > 0) (7) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f(x) = xa. Прибегая к

Одно обобщение уравнения Коши
Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в к

Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции. Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общи

Решение функциональных уравнений с применением теории групп
Решение функциональных уравнений с применением теории групп. В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g1 = х и g2 = а – х. В результате замены х на а – х получено еще одно урав

Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
Применение теории матриц к решению функциональных уравнений. Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида. Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составл

Предельный переход
Предельный переход. Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах. Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение (6.1) где х R. Решение. Заменив х на, получим (6

Дифференцирование
Дифференцирование. В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В резуль