рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Одно обобщение уравнения Коши

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Одно обобщение уравнения Коши

Одно обобщение уравнения Коши - раздел Математика, Функциональные уравнения Одно Обобщение Уравнения Коши. Пусть N — Фиксированное Натуральное Число. Рас...

Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция.

Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1.11) при n > 1 является непрерывной функцией.

Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (1.11) имеем f(уn) = (f(y))n для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уn. Отсюда В частности, при х = -z т. е. f(-z) = - f (z), z R. Если, то Отсюда следует что f(х + w) = f(х) + f(w) для всех х R, w R, т. е. f(х) — аддитивная функция.

Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что (1.12) Воспользовавшись формулой Ньютона, и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (1.12) при рациональных t: ; Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим , . В частности, для k = 2 имеем . (1.13) Если (f(1))n-2 > 0, то f(x) — неубывающая функция.

Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х2, поэтому из (1.13) имеем f(у) = f(x2) ≥ 0. При х1 > x2, х1 – x2> 0, f(x1 – x2) ≥ 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x1) – f (х2) ≥ 0. Если же (f(1))n -2 < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) — невозрастающая. Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах. Полагая в (1.13) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1. Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1. Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (1.11) при n > 1, но и получен его вид. § 2.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функциональные уравнения

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Одно обобщение уравнения Коши

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Функциональное уравнение линейной однородной функции
Функциональное уравнение линейной однородной функции. Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (4) Нетрудно заметить, что ли

Класс монотонных функций
Класс монотонных функций. Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x1 <

Класс ограниченных функций
Класс ограниченных функций. Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными

Функциональное уравнение показательной функции
Функциональное уравнение показательной функции. Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f(x+y) = f(x) •f(y), (5) задаются форму

Функциональное уравнение логарифмической функции
Функциональное уравнение логарифмической функции. Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y), (6) справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид f(x) = l

Функциональное уравнение степенной функции
Функциональное уравнение степенной функции. Функциональному уравнению f(xy) = f(x)•f(y) (x > 0, y > 0) (7) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f(x) = xa. Прибегая к

Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции. Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общи

Решение функциональных уравнений с применением теории групп
Решение функциональных уравнений с применением теории групп. В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g1 = х и g2 = а – х. В результате замены х на а – х получено еще одно урав

Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
Применение теории матриц к решению функциональных уравнений. Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида. Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составл

Предельный переход
Предельный переход. Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах. Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение (6.1) где х R. Решение. Заменив х на, получим (6

Дифференцирование
Дифференцирование. В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В резуль