Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции. Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем.

Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (4) – (7). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 2. Найти все непрерывные функции f (x), опреде¬ленные на промежутке (0;∞), для которых разность f (x1y) – f(x2y) при произвольных допустимых значениях х1 и х2 не зависит от у. Решение.

По условию, выражение f (ху) – f (у) (хг = х, х2 = 1) не зависит от у, Поэтому f(xy) – f(y) = f(x) – f(1). Положив g (х) = f (x) — f (1), получим функциональное урав¬нение Коши g(xy) = g(x) + g(y). Известно, что в классе непрерывных функций g (x) = сlnх. Отсюда f (х) = cln x+b, где b = f(1). Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции f (х) = сln х + b при произвольных b и с. Рассмотрим пример, считая х1 и х2 различными фиксиро¬ванными числами.

Так как f (х1y) – f (х2у) не зависит от у, то f (х1y) – f (х2у) = с. Пусть х2у = х, тогда f(ах) = f (x)+c, где, а > 0, с — постоянная.

Заменив х на ех, получим Вычитая из обеих частей, получим, или g(x + lna) = g(x), (2.1) где. Уравнению (2.1) удовлетворяют периодические с периодом lnа функции. Отсюда При проверке убеждаемся, что функции вида f(х) = g(ln x) + αlnx, где α – произвольная константа, а g(х) – непрерывная периодическая с периодом функция, обладают требуемым свойством.

Пример 3. Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством: (х + у) + z = х + (у + z) для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), «сохраняющие» сочетательность, т. е. f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (2.2) Решение. Перепишем (2.2) в виде f(х + у) – f(x) = f(у + z) – f(z) Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е. f(х + у) – f(x) = g(y) При х = 0 имеем f(у) = g (у) + а, а = f(0). Пришли к функциональному уравнению Коши. Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с — произвольные константы. Пример 4. Найти плоские кривые, обладающие следующим свойством: для произвольных двух точек сумма произведений абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных точек.

Решение.

Ограничимся отысканием кривых, являющихся графиками непрерывных функций, определенных при положительных значениях аргумента.

Задача сводится к решению функционального уравнения Пусть. Тогда получим одно из уравнений Коши вида. Так как g (x) непрерывна при х > 0, то. Отсюда с произвольной константой с. Пример 5. Найти непрерывные решения функционального уравнения Решение.

В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию: Тогда подставляя в исходное уравнение f(x) = g(x) +x2, получим g(x+y) = g(x) + g(y) Это уравнение Коши его решением является функция g(x) = ax. Окончательно находим f(x) = x2 + g(x) = x2 + ax и все такие функции удовлетворяют условию.

Пример 6. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций , Решение. Положим в уравнении (x+y) вместо x и 0 вместо y, получим: , Сравнивая полученное соотношение с первоначальным функциональным уравнением, имеем: f(x+y) + c = f(x) + f(y) Это уравнение переходит в уравнение Коши (4) при подстановке g(x) = f(x) - a, тогда g(x) = ax, f(x) = ax + c, а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.

Пример 7. Найти все непрерывные функции f: (0, +∞) → R, удовлетворяющие тождеству f(xy) ≡ xf(y) + yf(x). Решение. Поделив тождество на xy, перепишем его так: отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию: Тогда функция g удовлетворяет (6). Поэтому находим f(x) = x logax. § 3. Метод подстановок Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным.

Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах. Пример 8. Найти все решения функционального уравнения f(xy) = yk f(x), k N. Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = yk f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0. Пусть теперь x ≠ 0. Подставим в уравнение, получим: или (a=f(1)) Функция f(x) = axk является решением исходного уравнения.

Пример 9. Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению, где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1. Решение. При замене получаем систему . решением которой при a2 ≠ 1 является функция Пример 10. Найти все функции f(x), заданные на промежутке, для которых выполнено равенство Решение.

Выполнив последовательно две замены приходим к системе функциональных уравнений: Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на вcё множество I. Пример 11. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x): Решение.

В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z. При этом и первое уравнение принимает вид: или В результате получаем систему уравнений: решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1. § 4.