рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Число е

Работа сделанна в 2007 году

Число е - раздел Математика, - 2007 год - Министерство Образования И Науки Саратовской Области Муниципальное Образовате...

Министерство образования и науки Саратовской области Муниципальное образовательное учреждение «Гимназия №87» Число е Творческая работа ученицы 11«а» класса гимназии №87 Березиной Евгении Учитель: Заико И. В. Саратов 2007 Содержание Введение 3 Глава 1 Леонардо Эйлер как великий математик 5 Глава 2 Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e 2.2 Приближенное вычисление значения числа e 2.3 Трансцендентность числа e 14 Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) 16 Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение 19 Глава 5 Применение числа e в математических задачах 22 Заключение 25 Список использованной литературы 26 Приложение 27 Приложение 28 Приложение 29 Приложение 30 Приложение 31 Приложение 32 Введение Это малое е Так не нравится мне: Если честно сказать, Можно только назвать Неприличным его поведенье Дж. А. Линдон В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера(1707 – 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы Эйлера–Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера.

Под числом e понимают предел, который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы, где θ - это отношение разности (yn является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1). При этом число e является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = ex оказывается настолько важной, что, в отличие от y = ax (где a≠e), она получила особое название – экспоненциальная функция, или кратко экспонента.

Значение ex так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства (если x>0 и n N) или (если x<0 и n N). Кроме того, важным является и то, что именно число Эйлера является основанием натуральных логарифмов, что, однако, не придает натуральным логарифмам каких- либо отличительных свойств.

Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

В данной работе представлены краткий обзор основных событий творческой жизни Леонарда Эйлера, суть числа e, представлен способ вычисления его приближенного значения и приближенного значения ex, так же показано проявление числа e в реальной жизни и его использование в математике.

Глава 1 Леонард Эйлер как великий математик Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.) (приложение 1). Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества.

До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком. Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков.

Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 – 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником.

Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути. Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли.

Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии). В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ.

В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров.

На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики. Прекрасно зная ум Эйлера, на его свадьбу 1733 года на дочери живописца Екатерине Гзель ему преподнесли сочиненные по случаю стихи: В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер удивит весь мир, Что только цифры и расчёты Его единственный кумир. Теперь совсем в другом он мире, Где чувства, счастье и любовь И то что дважды два – четыре, Доказывать придётся вновь! Эйлер отличался феноменальной работоспособностью.

Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу самостоятельно всего за 3 дня. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой» философски заметил он. До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение « Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении », изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу.

Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. В 1741 году Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях и в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком.

Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии – и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 году Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии.

Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов. В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: « Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». Эйлер оправдал надежды своего учителя.

Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» 1748 г «Морская наука» 1749 г «Теория движения луны» 1753 г «Наставление по дифференциальному исчислению» 1755г а так же десятки статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения. Почти сто лет спустя, когда во многих странах – и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов.

Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов. Вступившая в 1762 году на русский престол Екатерина II, предложила Эйлеру управление математическим отделением и звание конференц-секретаря Академии. Фридрих долго не хотел разрешать ученому возвращаться в Россию, в ответ на что Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 году Фридрих разрешает наконец-то ему уехать в Россию.

Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей, которая поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза – он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки.

В мае 1771 года в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо.

Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной. В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию – и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились наблюдать девять местных светил медицины, но вся операция заняла три минуты и Эйлер снова стал видеть. Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать – лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако для Эйлера было просто невозможно «не вычислять», и уже через несколько дней после операции он снял повязку.

И вскоре потерял зрение снова, на этот раз навсегда. Несмотря на это, отнёсся он к такому неприятному событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе. В 1773 году. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс (1755 – 1825 гг.). Это было большой удачей для Эйлера, так как Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера.

Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет, то есть до самой своей смерти, Эйлер именно ему диктовал свои труды. В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье.

В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами ряда своих учеников». В сентябре 1783 году учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем (1740 – 1784 гг.) о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» – и потерял сознание.

Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер. Главные понятия, созданные Эйлером, это точки Эйлера, прямая Эйлера и окружность Эйлера в треугольнике; теорема Эйлера для многогранников, метод ломаных Эйлера (один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет), Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера), углы Эйлера (они используются главным образом в механике при описании движения тел), и, разумеется, число Эйлера, то есть число e. Именно Эйлер определил число e как бесконечную дробь Глава 2 Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e Рассмотрим числовую последовательность (xn), заданную формулой. Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность (yn), заданную формулой. Докажем, что (yn) – убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (an) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно, ; . Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем: . Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим. Таким образом, , а значит. Теперь докажем ограниченность снизу (yn), для этого воспользуемся неравенством Бернулли: . Поскольку (yn) – ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел.

И, наконец, докажем сходимость последовательности : Предел последовательности (xn)= и называют числом e, то есть числом Эйлера. 2.2

Приближенное вычисление значения числа e

Приближенное вычисление значения числа e. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 8... Таким образом, имеем xn<yn&#8804;e, отсюда видно, что и. . Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного ...

Трансцендентность числа e

Умножив обе части последнего равенства на n по сокращении знаменателей... Как и y = ax (где a&#8800;e) при a>1, функция y=ex монотонно во... Имеем: = 1 + х – истинно, поскольку y = 1+x – это касательная к график... 1) Проверим его справедливость при n = 1, имеем: - истинно. Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пят...

Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение

Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, кот... Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает п... Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, г... К счастью, существует один простой, хотя и несколько необычный, метод ...

приложения 5 видно, что вероятность того, что никто не получит свою шляпу, очень быстро достигает предела, равного.

– Конец работы –

Используемые теги: Число0.037

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Число е

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Сортировка, пирамидальная сортировка. Параметры задачи: размер последовательности, длина строки. Мера сравнения: число обменов, число сравнений, Время выполнения.
Сортировка пирамидальная сортировка Параметры задачи размер... последовательности длина строки Мера сравнения число обменов число... Время выполнения Пирамидальная сортировка Пирамидальная...

Определение геометрического вектора. Линейные операциисложение, умножение на число над векторами и их свойства
Определение геометрического вектора Линейные операции сложение умножение на число над векторами и их свойства... Вектор представляет собой геометрический объект характеризуемый длиной и... Пусть даны два вектора и Приложим вектор к точке концу вектора и получим вектор рис а здесь и далее равные...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Две матрицы считаю равными если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы...

Понятие потока вектоpа Е связано с понятием повеpхности. Потоком вектоpа Е называется число силовых линий поля, пеpесекающих данную повеpхность
Электростатика раздел учения об электричестве изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического... Электpическое поле создаваемое неподвижными заpядами называется...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Матрицей размера mxn наз ся прямоуг таблица чисел сост из n строк и m столбцов Эл ты м цы числа составл м цу М цы обознач прописными загл б ми... Виды м цы м ца вектор столбец м ца сост из одного столбца... Трансп м цы это смена местами строк и ст в с сох м порядка следования эл тов А исходная А Ат транспонир Если...

Понятие матрицы. Виды матрицы. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
а Матрицей размера m times n наз прямоугольная таблица сост из m строк и n столбцов... а а а а n... А a a a a n aij m times n aij m times n...

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ В круглых скобках после вопроса указано число правильных ответов
В круглых скобках после вопроса указано число правильных ответов I ОБЩАЯ НОЗОЛОГИЯ Что... IX НАРУШЕНИЯ КИСЛОТНО ЩЕЛОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ... Правильно ли утверждение Почечный механизм компенсации газового ацидоза заключается в...

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц
Общая схема исследования функций и построения их графиков... Общая схема исследования функций и построение их графиков Пример...

Вещественное действительное число и числовая прямая
Лекция Функция... Множества и операции над ними... Множество совокупность объединенных по некоторому признаку объектов Объекты образующие множество называются его...

Число подуровней на данном уровне равно номеру уровня
На сайте allrefs.net читайте: Число подуровней на данном уровне равно номеру уровня.

0.027
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • Временные законы следования импульсов и пауз. Длительность и число процедур электростимуляции нервно-мышечного аппарата Нижняя граница частоты следования определяется необходимостью исключения последействия предыдущего стимула на последующий. Это позволяет адресовать… Отсюда видно, что имеются нижний и верхний пределы частоты следования сигналов… Наличие определенного диапазона оптимальных частот следования связано с функциональными различиями разных двигательных…
  • Число как сущее Каким же мыслителям свойственен такой взгляд Среди греческих мыслителей прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академики обращали особое… Как поясняет просвещенная Теано, и многие эллины, как мне известно, думают,… В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому,…
  • Концепт "число" в древнерусском языке (на материале памятников ХХІ - ХІІІ веков) Князья Новгород-Северской земли не принимали участия в успешном походе в 1184 году князей киевских Святослава Всеволодовича и Рюрика Ростиславича… На следующий год князь Игорь Слатославич решил пойти с малыми силами в… В первом бою русские князья разбили половцев, но, углубившись в степи, потерпели поражение у речки Каялы, в Донской…
  • Ноль и бесконечное число Конечное характеризует любые конкретные явления и объекты, которые существуют в определенных пространственных и временных границах. Конечное нередко рассматривается как форма проявления бесконечного, последнее,… Это своего рода понятие-кентавр. С одной стороны, первоначало греки ищут и находят в чем-то достаточно определенном,…
  • Типичная для вида совокупность морфологических признаков хромосом (размер, форма, детали строения, число и т. д.) На сайте allrefs.net читайте: типичная для вида совокупность морфологических признаков хромосом (размер, форма, детали строения, число и т. д.)...