Реферат Курсовая Конспект
Работа сделанна в 2007 году
Трансцендентность числа e - раздел Математика, - 2007 год - Число е Трансцендентность Числа E. Как И Число π, Число E Трансцендентное, Т...
|
Трансцендентность числа e. Как и число π, число e трансцендентное, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, и нет способа построить отрезок, длина которого выражалась бы числом e. Докажем трансцендентность (иррациональность) этого числа, для этого вернемся к уже использованной выше формуле: . Предположим, что e равно рациональной дроби. Тогда для этого n справедливо равенство (где 0<θ<1). Умножив обе части последнего равенства на n по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа – целое число с дробью, что невозможно.
Полученное противоречие и доказывает то, что число e трансцендентно, то есть иррационально.
Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = ex оказывается настолько важной, что, в отличие от y = ax (где a≠e), получила особое название – экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Как и y = ax (где a≠e) при a>1, функция y=ex монотонно возрастает и не обращается в нуль на всем множестве действительных чисел (приложение 3). Кроме того, существует ряд теорем, облегчающих работу с заданной функцией.
Так, например, Если x>0, то для любого натурального n выполняются неравенства (1) (2) Докажем неравенство (1) методом математической индукции. 1) Проверим справедливость заданного утверждения при n=1. Имеем: = 1 + х – истинно, поскольку y = 1+x – это касательная к графику функции y = ex в точке с абсциссой x0=1; а так как функция y = ex обращена выпуклостью вниз на множестве всех действительных чисел, то для любого x из множества всех действительных чисел выполняется неравенство . 2) Предположим, что неравенство (1) верно при n=k, то есть, предположим, что . 3) Докажем его справедливость при n = k+1, то есть докажем, что. Для этого образуем вспомогательную функцию φ – разность левой и правой частей неравенства, то есть При х=0 эта функция обращается в нуль: φ(х)=0. Её производная имеет вид: . По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция φ(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку φ(0)=0, то для всех х>0 имеем φ(х)>φ(0)=0, что и означает, что выполняется неравенство. Таким образом мы доказали справедливость при n = k+1 неравенства, в предположении его справедливости при n = k, а так как оно справедливо и при n = 1, то оно справедливо для всех натуральных n. Теперь докажем неравенство (2) методом математической индукции. 1) Проверим его справедливость при n = 1, имеем: - истинно. 2) Предположим верность данного неравенства при n = k, то есть, предположим, что. Докажем справедливость этого неравенства при n = k+1, то есть докажем, что, для этого образуем вспомогательную функцию φ – разность левой и правой частей неравенства, то есть. По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция φ(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку φ(0)=0, то для всех х>0 имеем φ(х)>φ(0)= 0, а что и означает, что выполняется неравенство. Таким образом мы доказали справедливость неравенства при n=k+1 в предположении его справедливости при n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n То есть мы доказали, что при x>0 и n N верно двойное неравенство. С помощью него можно найти с любой точностью значение ex при любом x, так как, а значит. Кроме того, при x<0 выполняется двойное неравенство. Используя полученные неравенства, вычислим приближенное значение для e-0,5 с точностью до 0,001. Во-первых, найдем такое n, чтобы. Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пять слагаемых в каждом из неравенств, имеем: , отсюда e-0,5≈0,607; более точные вычисления дают результат 0,6065… Теперь вычислим приближенное значение e0,5 с точностью 0,01. Найдем такое n, чтобы выполнялось неравенство. Таким n является число 3, тогда, отсюда e0,5≈0,165; более точные вычисления дают значение 0,6487. Глава 4
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Под числом e понимают предел , который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с… Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени,… Значение ex так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства (если x>0 и n N) или (если x<0 и n N).…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Трансцендентность числа e
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов