Формула вечного календаря.
Можете ли вы ответить, на какой день недели придется день вашего рождения, скажем, через 5 лет? Это несложно вычислить.
Тут, как и во многих других случаях, пригодится умение рассчитывать остатки. Мы приведем универсальную формулу, пригодную для определения дня недели любой даты в любом столетии.
Пусть n – номер дня недели в следующем порядке: 0 – воскресенье, 1 – понедельник, 2 – вторник, 3 – среда, 4 – четверг, 5 – пятница, 6 – суббота.; d – число месяца (дата); m – номер месяца, если начинать счет с марта: 1 – март, 2 – апрель, 3 – май, 4 – июнь, 5 – июль, 6 – август, 7 – сентябрь, 8 – октябрь, 9 – ноябрь, 10 – декабрь, 11 – январь, 12 – февраль (такая нумерация помогает при выводе формулы устранить неудобство, связанное с переменным количеством дней в феврале). Далее, пусть y – это номер года в столетии, c – количество столетий с учетом того, что январь считается 11-м, а февраль – 12-м месяцем предыдущего года. (К примеру, если речь идет о 2000 г то для даты, приходящейся на январь или февраль, следует считать y = 99, c = 19, а для даты, приходящейся на другие месяцы, y = 0, c = 20.) В этих обозначениях формула для нахождения дня недели такова: n – остаток от деления на 7 числа W, где Квадратные скобки здесь обозначают так называемую целую часть числа, т.е. наибольшее целое число не превосходящее данное число.
Например, [3,4] = 3, [-3,14] = - 4, [3] = 3. Даже если W принимает отрицательное значение, остаток n от его деления на 7 все равно должен быть больше или равен нулю. Например, для 8 марта 2000 г. W = - 25 = 7 * (- 4) + 3. Поэтому n = 3, т.е. это среда Магические квадраты Магическим квадратом называется расположение чисел от 1 до n2 в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и диагоналях дают одинаковую сумму S, называемую магической суммой.
Магические квадраты могут быть построены для любого натурального числа n >2. Для n=2 таких квадратов не существует, в чем легко убедиться рассмотрением всевозможных случаев расположения чисел 1, 2, 3, 4 в виде квадрата.
Докажем, что для заданного числа n>2 магическая сумма определяется однозначно формулой S=1/2n (n2+1). Действительно, с одной стороны, сумма всех чисел в магическом квадрате равна Sn, а с другой стороны, она равна 1+2+…n2 = 1/2n2 (n2+1). Сравнивая оба результата, получим формулу S=1/2n (n2+1). Рассмотрим случай n=3. Пусть x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 - магический квадрат.
Его сумма S равна 15. Складывая суммы чисел строки, столбца и диагоналей, содержащих y2, находим: y2=5. Число 9 не может стоять в углу квадрата.
Действительно, если бы, например, х1=9, y1+z1 =6, х2+х3=6. Так как осталось четыре числа, меньших 6 (1, 2, 3, 4), для которых оба равенства одновременно не могут быть выполнены, то х1=9 – противоречие.
Значит, 9 находится в середине строки или столбца. Тогда число 7 не может находиться в углу, так как тогда оно находилось бы в одной строке либо с 9, либо с 1, чего быть не может.
Значит 7 – в середине строки. С точностью до замены строк столбцами и перестановки крайних строк и столбцов, получаем единственный магический квадрат, например, 2 9 4 7 5 3 6 1 8 Во времена средневековья странные свойства магических квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носит, от многих несчастий.
Например, на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», созданной в 1514 г изображен магический квадрат 4х4, две средние цифры в последней строке которого изображают год создания этой гравюры: 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Для больших значений n можно построить много различных магических квадратов. В XVI и XVII веках и даже позже составление магических квадратов столь же процветало, как и кроссвордов в наши дни. Особенно страстным поклонником составления магических квадратов был выдающийся американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706-1790). Он составил магический квадрат 16х16. Магический квадрат Бенджамина Франклина обладает замечательным свойством.
Если вырезать из листа бумаги квадрат 4х4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратов большого квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили на большой квадрат, будет одна и та же и равна магической сумме 2056. Сумма чисел диагоналей этого квадрата равна: 1928+2184-2х2056 Магический квадрат Бенджамина Франклина 200 217 232 249 8 25 40 57 72 89 104 121 136 153 168 185 58 39 26 7 250 231 218 199 186 167 154 135 122 103 90 71 198 219 230 251 6 27 38 59 70 91 102 123 134 155 166 187 60 37 28 5 252 229 220 197 188 165 156 133 124 101 92 69 201 216 233 248 9 24 41 56 73 88 105 120 137 152 169 184 55 42 23 10 247 234 215 202 183 170 151 138 119 106 87 74 203 214 235 246 11 22 43 54 75 86 107 118 139 150 171 182 53 44 21 12 245 236 213 204 181 172 149 140 117 108 85 76 205 212 237 244 13 20 45 52 77 84 109 116 141 148 173 180 51 46 19 14 243 238 211 206 179 174 147 142 115 110 83 78 207 210 239 242 15 18 47 50 79 82 111 114 143 146 175 178 49 48 17 16 241 240 209 208 177 176 145 144 113 112 81 80 196 221 228 253 4 29 36 61 68 93 100 125 132 157 164 189 62 35 30 3 254 227 222 195 190 163 158 131 126 99 94 67 194 223 226 255 2 31 34 63 66 95 98 127 130 159 162 191 64 33 32 1 256 225 224 193 192 161 160 129 128 97 96 65 Магическая сумма этого квадрата: S=1/2*16(256+1)=2056.