Кафедра информатики и вычислительной математики КУРСОВАЯ РАБОТА Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых итераций и методом Зейделя Выполнил студент IV курса дневного отделения факультета МФИ Белоусов А.А. Проверил преподаватель: Голикова Е.И. Содержание СОДЕРЖАНИЕ 2 ВВЕДЕНИЕ 3 МЕТОД ИТЕРАЦИЙ 5 Описание метода 5 Сходимость метода 8 МЕТОД ЗЕЙДЕЛЕ 10 Описание метода 10 Сходимость метода. 13 Другая форма метода Зейделя 15 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 18 Листинг №1(метод простой итерации) 18 Листинг №2(метод Зейделя) 20 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 24 Введение Способы решения линейных систем уравнений разделяют в на 2 группы. Первые, точные методы представляющие собой конечные алгорифмы для вычисления корней системы (таковыми например, являются правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.). Вторые, итерационные методы позволяющие получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу таковых относят, метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации). Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются округленными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.
При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.
Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора приближения и быстроты итерационного процесса.
Сейчас разберем несколько определений которые будем использовать в этой работе. Система линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида (1) Здесь — неизвестные, которые надо определить. — коэффициенты системы — и — свободные члены — предполагаются известными.
Индексы коэффициентов ( ) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно. Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю ( ), иначе — неоднородной. Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы (1) — совокупность n чисел, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений. Решения и совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств: = соответственно Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой. Метод итераций
Описание метода При большем числе неизвестных Линейная система (ЛС впоследствии) схема метода Гаусса, дающая точное приближение, становиться весьма сложной.
В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее использовать приближенные методы вычисления. Изложим здесь один из из этих методов – метод итераций. Пусть дана ЛС Введя в рассмотрение матрицы (1) Систему 1 коротко можно записать в виде матричного уравнения (1’) Предполагая, что диагональные коэффициенты Разрешим первое уравнение первое уравнение системы (1) относительно, второе относительно и т. д. Тогда получим эквивалентную систему (2) где при и при введя матрицы и Систему (2) можем записать в матричной форме (2’) Систему (2) будем решать методом последовательных приближений.
За нулевое приближение принимаем, например столбец свободных членов т.е. Далее строим матрицы столбцы Первое приближение Второе приближение Вообще говоря, любое (k+1)-е приближение вычисляется по формуле: (3) Если последовательность приближений Имеет придел То этот придел является решением системы (2). В самом деле, переходя к приделу в равенстве (3) будем иметь: или т.е. предельный вектор x является решением системы (2’), а следовательно, и системы (1). Напишем формулы приближений в развернутом виде Заметим, что иногда систему (1) выгоднее приводить к виду (2), так чтобы коэффициенты не были равны нулю. Вообще имея систему: можно положить где. Тогда данная система эквивалентна приведенной системе.