Описание метода

Описание метода. При большем числе неизвестных Линейная система (ЛС впоследствии) схема метода Гаусса, дающая точное приближение, становиться весьма сложной.

В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее использовать приближенные методы вычисления. Изложим здесь один из из этих методов – метод итераций. Пусть дана ЛС Введя в рассмотрение матрицы (1) Систему 1 коротко можно записать в виде матричного уравнения (1’) Предполагая, что диагональные коэффициенты Разрешим первое уравнение первое уравнение системы (1) относительно, второе относительно и т. д. Тогда получим эквивалентную систему (2) где при и при введя матрицы и Систему (2) можем записать в матричной форме (2’) Систему (2) будем решать методом последовательных приближений.

За нулевое приближение принимаем, например столбец свободных членов т.е. Далее строим матрицы столбцы Первое приближение Второе приближение Вообще говоря, любое (k+1)-е приближение вычисляется по формуле: (3) Если последовательность приближений Имеет придел То этот придел является решением системы (2). В самом деле, переходя к приделу в равенстве (3) будем иметь: или т.е. предельный вектор x является решением системы (2’), а следовательно, и системы (1). Напишем формулы приближений в развернутом виде Заметим, что иногда систему (1) выгоднее приводить к виду (2), так чтобы коэффициенты не были равны нулю. Вообще имея систему: можно положить где. Тогда данная система эквивалентна приведенной системе.